Transformations

Bonjour Pappus
Sommairement (voir figure), si les droites $Af\left( A\right) $ et $Bf\left( B\right) $ se coupent en $\Omega $, pour tout point $M$ tel que $f\left( M\right) \neq M$, $\Omega $ est sur l'axe radical $Mf\left( M\right) $ des cercles $A,M,f\left( A\right) ,f\left( M\right) $ et $B,M,f\left( B\right) ,f\left( M\right) $ et $\overline{\Omega M}\cdot \overline{\Omega f\left( M\right) }=\overline{\Omega A}\cdot \overline{\Omega f\left( A\right) }$.
Moralité : $f$ est une inversion de pôle $\Omega $.
Question très angoissante : que se passe-t-il si $Af\left( A\right) $ et $Bf\left( B\right) $ sont parallèles?
Amicalement. Poulbot

Mon cher Pappus
Fort heureusement, mon angoisse s'est immédiatement dissipée et je voulais laisser un peu de travail à nos amis du forum d'autant qu'ls ne devraient pas avoir besoin d'un glossaire pour donner un nom à la transformation $f$.
Amicalement. Poulbot

Bonjour.

Qu'est-ce qu'un cycle ? C'est une conique passant par les ombilics. Qu'est-ce qu'un cercle ? c'est ou bien le cercle horizon (la droite de l'infini comptée deux fois, permettant de faire deux demi-tours de suite, mouvement appelé tour complet). Ou bien un cycle qui ne contient pas d'autres points à l'infini en plus des ombilics (aka un cercle banal dans le rantanplan).

Qu'est-ce que le plan circulaire ? Description coruscante: c'est un plan qui ne contient pas les points circulaires à l'infini. Pas d'ombilics, pas de cercles. Tout en devient beaucoup plus simple.

En fait il n'y a pas UN plan circulaire, mais DEUX. En effet projeter $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} $ $\vz:\vt:\vzz$ sur $\vz:\vt$ induit une perte d'information et n'est pas un processus tintrin sec. Cela implique en particulier un choix d'orientation, alors que les deux projections $\vz:\vt$ et $\vzz:\vt$ ont une égale dignité (et une égale inefficacité).

L'utilité majeure d'introduire les espaces projectifs est de décrire de façon claire et nette ce qui se passe à l'infini. Si l'on veut cesser de jouer à définir une direction de droite par une classe de droites équi-truc, on définit cet objet comme étant le point à l'infini de cette droite dans $\vz:\vt:\vzz$. Cela permet de disposer d'un objet avec lequel on sait calculer. Coaguler toutes ces directions en un seul point est la plus mauvaise idée possible.

Ensuite de quoi, raisonner avec $z$ et $\overline z$ considéré comme le conjugué de $z$ dans $\C$ revient à abandonner les propriétés algébriques utiles. Au contraire, il est particulièrement efficace de considérer $\vz,\vt,\vzz$ comme des variables algébriques indépendantes. Moyennant quoi, une conique possède quatre foyers.

Exercice: condition pour que deux cercles points soient orthogonaux.

Cordialement, Pierre.