Une conique inscrite et des cercles

Bonjour Pappus
Tout d'abord, je te souhaite un prompt rétablissement.
Comme toujours, tu as raison et ce cercle est bien le cercle orthoptique de $\gamma $ (sa directrice s'il s'agit d'une parabole).
En fait, tout ce que je sais sur ce résultat de Hagge est ce que j'en ai lu dans le livre de Roger A.Johnson Modern Geometry où il est cité sans démonstration et ne fait aucune allusion aux coniques inscrites mais suppose que $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ est le triangle cévien d'un point $P$ et que les $3$ paires de cercles ont des points communs réels.
J'ai ajouté l'hypothèse $ABC$ acutangle pour que cela soit toujours le cas et réalisé, comme toi, que le cercle final était le cercle orthoptique de la conique inscrite de perspecteur $P$.
Johnson donne la référence de l'article de Hagge Zeitschrift für Math. und Nat. Unterricht, 39, 1908, p. 1. Je n'ai pas trouvé cet article et, de toute manière, je ne parle pas un mot d'allemand.
Dans l'édition $1929$ du Johnson, on trouve cela page $181$; j'ignore ce qu'il en est dans les éditions plus récentes.

Un résultat plus général : un cercle est le cercle orthoptique d'une conique inscrite si et seulement si il est orthogonal au cercle polaire (sans se préoccuper de la "visibilité", comme dirait Pierre, de ces deux cercles). Je présume que ce résultat doit être connu comme le loup blanc depuis longtemps mais je ne l'ai trouvé nulle part, ce qui signifie tout simplement que je n'ai pas cherché où il fallait.

En tout cas, on a une construction très rapide du cercle orthoptique d'une conique inscrite à partir de son triangle de contact.
Amicalement. Poulbot

Merci Pappus
pour cette si rapide et si brillante preuve.
J'ignore comment Hagge s'y était pris pour prouver son résultat mais probablement pas en faisant intervenir notre conique inscrite et son cercle orthoptique.
Hélas, depuis pas mal de temps, il n'y a plus guère de professeurs qui énoncent ton résultat les yeux fermés comme s'ils récitaient une sourate du Coran. D'ailleurs, je présume qu'actuellement bien peu de professeurs le connaissent. Fort heureusement, j'en avais entendu parler.

"le théorème de Faure dont nous avons souvent parlé ici même"
Quelqu'un pourrait-il retrouver où? Il semble que je ne lui aie pas accordé la considération qu'il méritait ou qu'il me soit totalement sorti de la tête car je ne me souvenais ni de son nom ni de son énoncé. En tout cas cela confirme que, comme je le présumais plus haut, ce résultat était connu de nos anciens comme le loup blanc.

Amicalement. Poulbot

Bonsoir et merci JFS
Ce théorème est effectivement la partie directe du "résultat plus général" que j'ai donné ICI.
Ce fil est antérieur à mon débarquement sur ce forum.
Bien cordialement. Poulbot