Bonsoir.
Un triangle acutangle est un triangle dont les trois angles sont aigus.
En combien de triangles acutangles, au moins, peut-on partager un carré ?
Bonne nuit.
Fr.Ch.
Il faut couper chaque sommet du carré (sinon on a un angle droit). On a donc 4 lignes. Les lignes ne peuvent pas être toutes les deux les diagonales (sinon elles se coupent perpendiculairement). On a donc au moins 4 acutangles.
C’est tellement évident que je me demande si j’ai bien compris l’énoncé.
@Rescassol : un angle droit n'est pas obtus, n'est pas aigu : il est droit. Un angle aplati n'est pas obtus, n'est pas aigu, n'est pas droit : il est aplati.
J'ai montré au moins 4 acutangles. J'ai montré que 7 acutangles sont solutions.
Oops! C'est plus compliqué que je croyais... en fait je conjecture que ce n'est pas possible : il en faut une infinité.
Un point dans le carré : il faut au moins cinq segments issus de ce point pour assurer que chaque angle est aigu.
Mais ça ne marche pas : il faut donc un second point dans le carré.
Avec deux points et chacun de valence cinq, on a deux triangles en commun formés de part et d’autre du segment entre les deux points.
J'avais oublié que nous en avions parlé il y a six ans. Heureusement qu'il y en a qui ont la longue mémoire.
Il y a des résultats avec références dans : Martin Gardner, Nouveaux divertissements mathématiques, Dunod 1970, traduction de : New Mathematical Diversions, Simon & Schuster 1966, réédition The MAA 1995.
Ce problème a été aussi posé dans Eureka, vol. I, 1975, n° 3, problème 29, p. 12, solution dans le n° 5, p. 45. En 1978 cette revue a pris le nom de Crux Mathematicorum, qui existe encore aujourd'hui. https://en.wikipedia.org/wiki/Crux_Mathematicorum https://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf
Bonne soirée.
Fr. Ch.
En prenant un carré de côté $1$ on trouve par un calcul intégral que l'aire de la zone dans laquelle on peut placer les deux points déterminant les huit triangles (voir la figure de soland) est égale à : $$\frac{1}{16} \; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{3}{4} \right) + \frac{1}{4} \; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{4}{3} \right) - \frac{5}{32} \; \pi + \frac{1}{4} \approx 0,031.$$ Avec Wolfram Alpha j'ai obtenu une formule avec un seul calcul trigonométrique : $$\frac{1}{4} - \frac{1}{16} \; \pi - \frac{1}{32} \; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{10296}{11753} \right).$$ Je crois avoir vu passer il n'y a pas longtemps sur le forum une méthode pour simplifier des sommes d'arcs tangentes de ce type, mais je ne la retrouve pas. Cela vous dit quelque chose ? On doit sans doute partir de la formule donnant $\operatorname{tan⁻¹} \left( x \right) + \operatorname{tan⁻¹} \left( y \right)$.
Merci Chaurien mais il n'y a pas les calculs dans ton lien. J'en ai fait une partie à la main (il me manque la dernière simplification) et j'ai trouvé une formule plus simple que Wolfram : $$\frac{1}{4}- \frac{1}{16} \; \pi -\frac{1}{16}\; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{44}{117} \right) .$$
edit : j'ai trouvé la dernière ligne, il suffit de résoudre une équation obtenue à partir de $\arctan(\frac{24}{7})=\arctan(x)+\arctan(\frac{4}{3})=...)$
Ludwig, je n'avais pas pour but de répondre à ta question, mais simplement de restaurer le lien vers un ancien fil.
Si l'on en parle, on pourrait dire que c'est une curieuse idée de mobiliser le calcul intégral pour calculer une aire qui se ramène à l'aire de l'intersection de deux disques. Mais après tout pourquoi pas, si ça simplifie ?
Pour l'instant je n'ai pas eu la patience d'achever les calculs, mais si j'admets ta solution : $\frac{1}{16} \arctan \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \arctan \frac{4}{3} - \frac{5}{32} \pi + \frac{1}{4} $, tu peux la simplifier en observant que $\arctan \frac{4}{3}=\frac{\pi}{2} -\arctan \frac{3}{4}$.
Oui c'est vrai tu as raison Chaurien, pas besoin du calcul intégral pour trouver cette aire. La figure ci-dessous donne je pense une piste. Je travaille avec GeoGebra et alors je ne m'embête pas trop : coordonnées du point d'intersection des deux arcs, intégration d'une fonction liée, paf paf c'est terminé. Alors, je reconnais, quand je dis que je ne m'embête pas, en fait je m'en-bête. Je n'en ai pas vraiment conscience quand je suis planté devant l'ordi, je ne le vois que si on me le dit en fait. Merci de me l'avoir signalé!
Je suis, comment dire, très terre-à-terre. Une vision au ras des pâquerettes. Enfin j'essaie quand même de m'élever.. pas évident. De ce point de vue, c'est-à-dire du désir de s'élever, il est bien clair que les logiciels se présentent essentiellement contre. C'est bien pour cela que j'essaie de les planter.
Soit un cercle de centre $C$ et de rayon $R>0$, et un cercle de centre $C'$ et de rayon $R'>0$, avec $CC'=d$, vérifiant : $|R-R'|<d<R+R'$. Ces cercles se coupent donc en deux points $A$ et $B$, symétriques par rapport à la droite des centres $CC'$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $A$ (ou $B$) sur la droite des centres $CC'$ ; c'est le milieu de $AB$.
Soit $h=AK=\frac 12 AB$. On a : $0<h \le \min (R,R')$. Soit $\alpha =\arcsin \frac hR$ et $ \beta =\arcsin \frac h{R'}$.
Si je ne me trompe, l'aire de l'intersection des deux disques est : $S=R^2 \alpha+R'^2 \beta-h( \sqrt{R^2-h^2}+\sqrt{R'^2-h^2})$.
Si les deux cercles sont orthogonaux (ce qui est le cas ici), alors $\alpha =\arctan \frac {R'}R$, $\beta =\arctan \frac R{R'}=\frac {\pi}2-\alpha$, $d=\sqrt {R^2+R'^2}$, $h=\frac {RR'}d$.
Merci Chaurien pour ces calculs, qui donnent bien le même résultat que celui que j'avais trouvé. Mais l'expression qu'on obtient avec ta méthode est beaucoup plus simple ! Pour un carré de côté $1$ on a $R=\frac{1}{2}$, $R'=\frac{1}{4}$, $\alpha=\operatorname{tan⁻¹}(\frac{1}{2})$ et $h= \frac{\sqrt{5}}{10}$. L'aire de l'intersection des deux disques est alors $S=\frac{3}{16} \; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{32} \; \pi - \frac{1}{8}$, ce qui donne pour celle de la zone qui nous intéresse : $$\frac{3}{8} \; \operatorname{tan⁻¹} \left( \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{8} \; \pi + \frac{1}{4}.$$ Il est naturel de vouloir placer un point dans cette zone, pour faire la figure. On peut pour cela construire cette zone à partir d'inégalités puis utiliser la commande POINTDANS de GeoGebra. Mais cela fonctionne très mal je l'ai déjà dit : le point obtenu reste collé aux bords, saute inexplicablement et ne va pas dans les coins. Avec la méthode que j'ai décrite dans ce fil, on obtient un résultat parfait. Ici il suffit de placer un point $P$ (à la main) dans la zone, de le projeter sur les arcs, puis de construire le quadrilatère délimité par les tangentes à ces projections. C'est dans ce quadrilatère qu'on va ensuite placer un point $Q$ grâce à POINTDANS, et lui adjoindre le script par actualisation SoitValeur($P$,$Q$) : le quadrilatère changera en même temps qu'on bougera $Q$, mais il restera toujours dans la zone et ira bien partout comme il faut. Et donc $Q$ aussi
Charles Cassidy et Graham Lord ont démontré en 1980 qu'il n'y a pas de partition du carré en 9 triangles acutangles (voir fichier joint). Martin Gardner en avait trouvé une mais elle était "impropre" (sans doute comportait-elle un triangle rectangle, dommage qu'elle ne soit pas lisible dans le fichier).
Les auteurs de cet article donnent une partition en 10 triangles acutangles. Je l'ai reproduit ici, en élargissant les domaines dans lesquels peuvent varier les points $P$ et $Q$ : $P$ peut varier sur le segment $[AB]$ et $Q$ peut varier dans la zone coloriée en bleu.
Réponses
Il faut couper chaque sommet du carré (sinon on a un angle droit). On a donc 4 lignes. Les lignes ne peuvent pas être toutes les deux les diagonales (sinon elles se coupent perpendiculairement). On a donc au moins 4 acutangles.
C’est tellement évident que je me demande si j’ai bien compris l’énoncé.
Un angle droit est il aigu ?.
Cordialement,
Rescassol
Non, un angle droit n’est pas aigu.
Si on considère qu’on a le droit à recouvrir le carré par des triangles droits, alors deux suffisent en traçant une diagonale.
Là encore c’est tellement évident que je passe à côté....
Donc un angle droit est obtus ?
Cordialement,
Rescassol
@Rescassol : un angle droit n'est pas obtus, n'est pas aigu : il est droit. Un angle aplati n'est pas obtus, n'est pas aigu, n'est pas droit : il est aplati.
J'ai montré au moins 4 acutangles. J'ai montré que 7 acutangles sont solutions.
Oops! C'est plus compliqué que je croyais... en fait je conjecture que ce n'est pas possible : il en faut une infinité.
Voir la discussion initiée par Soland il y a six ans
Triangles obtus et acutangles
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais pourquoi faut-il au moins huit triangles acutangles?
Bien cordialement. Poulbot
Sans point dans le carré : pas de solution.
Un point dans le carré : il faut au moins cinq segments issus de ce point pour assurer que chaque angle est aigu.
Mais ça ne marche pas : il faut donc un second point dans le carré.
Avec deux points et chacun de valence cinq, on a deux triangles en commun formés de part et d’autre du segment entre les deux points.
Donc au minimum : 2 x 5- 2= 8.
Il y a des résultats avec références dans : Martin Gardner, Nouveaux divertissements mathématiques, Dunod 1970, traduction de : New Mathematical Diversions, Simon & Schuster 1966, réédition The MAA 1995.
Ce problème a été aussi posé dans Eureka, vol. I, 1975, n° 3, problème 29, p. 12, solution dans le n° 5, p. 45. En 1978 cette revue a pris le nom de Crux Mathematicorum, qui existe encore aujourd'hui.
https://en.wikipedia.org/wiki/Crux_Mathematicorum
https://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf
Bonne soirée.
Fr. Ch.
et merci à tous.
Bien cordialement. Poulbot
edit : j'ai trouvé la dernière ligne, il suffit de résoudre une équation obtenue à partir de $\arctan(\frac{24}{7})=\arctan(x)+\arctan(\frac{4}{3})=...)$
Je suis, comment dire, très terre-à-terre. Une vision au ras des pâquerettes. Enfin j'essaie quand même de m'élever.. pas évident. De ce point de vue, c'est-à-dire du désir de s'élever, il est bien clair que les logiciels se présentent essentiellement contre. C'est bien pour cela que j'essaie de les planter.
Une bonne journée,
Ludwig
Les auteurs de cet article donnent une partition en 10 triangles acutangles. Je l'ai reproduit ici, en élargissant les domaines dans lesquels peuvent varier les points $P$ et $Q$ : $P$ peut varier sur le segment $[AB]$ et $Q$ peut varier dans la zone coloriée en bleu.
lien vers une figure GGB
Bonne fin de soirée,
Ludwig