Dit-on "deux à deux" ou "deux par deux" ?

Il me semble qu'il faudrait d'abord se renseigner sur le sens exact, en français, de l'expression deux à deux, expliciter les contextes dans lesquels elle est employée, et voir alors dans quelles mesures on peut la rapprocher - ou l'éloigner - des propositions mathématiques que tu rappelles.

Ludwig,

en 60 ans j'ai vu les explications aux élèves se multiplier, se raffiner, se stéréotyper, se stériliser, sans que les élèves soient meilleurs. Aucun mot ne remplace la volonté de comprendre de l'élève, aucune rédaction ne peut servir à celui qui s'en moque. Les grandes époques où on a cherché sans arrêt "le mot juste" (vers 1970, puis depuis 2000) sont celles où le maximum d'élèves (très triés vers 1970, plus du tout après 2000) s'est montré en défaut de compréhension.

Avec "le juste mot", le prof se fait plaisir.

Cordialement.

Vers 1970, l'incompréhension des élèves était sans doute due à la réforme des maths modernes, enseignées par des gens qui ne les maitrisaient pas.

Bonjour,

@Titi : le polynôme $(x-1)(x-2)$ ne me semble pas posséder des racines deux à deux conjuguées ni deux par deux conjuguées.

Comme quoi on ne lit des autres que ce qu'on a envie de voir ! L'erreur de cette formulation (celle sur les racines imaginaires n'est pas fausse, mais bien trop restreinte) est dénoncée dès mon premier message.

Il vaut mieux faire attention au vocabulaire mathématique (complexe, imaginaire, non réel) que perdre son temps à vouloir interpréter de façon stricte une langue qui ne l'est pas (le français). Pour moi qui suis d'une génération où les étudiants en mathématiques avaient une solide formation en français faite en primaire, collège et lycée, voir des questions de ce genre m'atterre !

Mais il est vrai qu'en ce moment, on fait tellement peu de maths avec les élèves qu'il faut bien trouver à pinailler en dehors des maths. Je vous laisse jouer ...

Bonjour

Il y a toujours moyen de rigourer une proposition jusqu'à la rendre incompréhensible. La proposition "si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux" semble être une façon d'éviter la proposition "si deux triangles ont leurs côtés homologues égaux, alors ces deux triangles sont égaux". Et cela parce que
* le concept de côtés homologues est "trop difficile" (il est déjà difficile de disposer les uns sous les autres des chiffres ayant des positions homologues dans une addition).
* si l'on numérote de travers deux triangles qui sont néanmoins égaux, les côtés zomologues ne seront pas égaux.
* et enfin (raison de fond) remplacer la formulation traditionnelle par des mantras rénovés permet de faire cantiner les péd à gogos.

Par ailleurs, si l'on veut vraiment rigourer à donf, il semble qu'utiliser "égaux" dans ce contexte revient à faire preuve d'un laxisme inadmissible. Ou bien on parle d'un triangle qui est égal à lui-même, concept lisse et rond (et totalement inutile). Ou bien on parle de deux triangles qui se correspondent dans une isométrie. Et alors on arrive à : "si il existe trois isométries linéaires, chacune envoyant un côté du premier triangle sur son homologue dans le deuxième triangle, alors il existe une isométrie plane envoyant le premier triangle sur le deuxième". Cétipaplubo ?

Cordialement, Pierre.

Bonjour,
Quand j'ai commencé à enseigner, en 2004, en classe de seconde, je parlais de côtés homologues avec les élèves (et de triangles isométriques et semblables).

Bonsoir à tous
Si j'ai bien compris, contempler deux triangles isométriques est devenu un véritable cauchemar sémantique.
Alors que dire de la figure ci-dessous où on peut en voir trois.
La donnée de départ est le triangle $ABC$.
A défaut de faire de la géométrie en expliquant comment j'ai construit cette figure, on peut évidemment se contenter d'ergoter indéfiniment sur la façon de la présenter!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Pappus,
Te connaissant un peu, j'aurais dû me douter qu'il y avait quelque histoire de transformation ...
Ignorant tout de la théorie de tes bien-aimées FLTI, tu me vois dans la plus totale incapacité "d'articuler le quart de la moitié du commencement d'une" esquisse de réponse à ta question !
J'espère que d'autres, plus avertis que moi, pourront apporter les éclaircissements nécessaires !
Bien amicalement
JLB

$\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\Sw{S_{\omega}}$

Mon cher pappus, tu n'as pas répondu à la question. Doit-on dire j'ai comparé deux à deux les décimales du centre de la conique
\[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & {\dfrac{3\,{\Sc}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sc}^{2}-4\,S^{2}}} & {\dfrac{3\,{\Sb}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sb}^{2}-4\,S^{2}}}\\ {\dfrac{3\,{\Sc}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sc}^{2}-4\,S^{2}}} & 1 & {\dfrac{3\,{Sa}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sa}^{2}-4\,S^{2}}}\\ {\dfrac{3\,{\Sb}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sb}^{2}-4\,S^{2}}} & {\dfrac{3\,{\Sa}^{2}+4\,S^{2}}{3\,{\Sa}^{2}-4\,S^{2}}} & 1 \end{array}\right] \]

avec les décimales de X(14993), ou bien j'ai comparé deux par deux les décimales du centre avec les décimales de X(14993) ?

Question subsidiaire: doit-on dire les trois triangles sont égaux, ou bien doit-on dire qu'ils sont déplacés les uns des autres, ou encore qu'ils sont isométriques directs deux par deux ?

Cordialement, Pierre.

Bonsoir à tous
La figure ci-dessous montre un triangle inscrit $abc$ directement semblable au triangle $ABC$ donc directement semblable au triangle médial$A'B'C'$, le centre de similitude étant le centre $O$ du cercle circonscrit, donc centre permanent de similitude ou pivot.
Il est facile d'en déduire la construction de ma première figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

On regarde la famille linéaire LFIT engendrée par les triangles $
\def\tri#1{\mathcal{T}_{#1}} \def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}} \def\slov{\mathcal{S}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\ptv{~;~}

$ $\tri 1,\tri 2$. Elle contient deux triangles (directement) semblables entre eux. Et par conséquent elle est formée par l'ensemble des triangles inscrits ayant la forme prescrite. En particulier elle contient le triangle médial $A'B'C'$. On intuite que ce triangle est le triangle critique de la famille.

Pour en être certain, on utilise le fait que $\slov$ et $\equi$ sont isogonaux l'un de l'autre (isogonaux deux à deux ?). Les contraintes de normalisation imposent: \[ \slov=\left(\begin{array}{c} f\\ g\\ h \end{array}\right)\ptv\equi=\dfrac{f+g+h}{ga^{2}h+b^{2}fh+gc^{2}f}\,\left(\begin{array}{c} a^{2}gh\\ b^{2}hf\\ c^{2}fg \end{array}\right) \] Il reste à identifier \[ A'B'C'=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\;\mathrm{avec}\;\trim t=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\dfrac{t}{g}+1-\dfrac{w-f}{g} & \dfrac{t}{h}+1-\dfrac{v}{h}\\ \dfrac{t}{f} & 0 & -\dfrac{t}{h}+\dfrac{v}{h}\\ 1-\dfrac{t}{f} & \dfrac{t}{g}+\dfrac{w-f}{g} & 0 \end{array}\right) \] On trouve que $\slov=H$=X(4) tandis que $\equi=O$=X(3). Intuition justifiée, $A'B'C'$est le triangle pédal de $\equi$.

On détermine les dates de passage par $\det\trim t=1$, on reporte et cela donne: $
\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\Sw{S_{\omega}}

$ \[ \trim p=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sb}{4\,S} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sc}{4\,S}\\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sa}{4\,S} & 0 & \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sc}{4\,S}\\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sa}{4\,S} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sb}{4\,S} & 0 \end{array}\right]\ptv\trim m=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sb}{4\,S} & \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sc}{4\,S}\\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sa}{4\,S} & 0 & \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sc}{4\,S}\\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\Sa}{4\,S} & \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\Sb}{4\,S} & 0 \end{array}\right] \] On sait par avance que ces deux matrices sont des matrices de rotation. Leur polynôme caractéristique est $\left(X-1\right)\left(X^{2}+X+1\right)$: rotations de $\pm120°$. Les centres de rotation sont: \[ P5,U5=\sqrt{3}\,vX(5)+4S\,vX(523) \]

Pendant que l'on y est, on calcule les centres des cercles circonscrits à ces triangles. On trouve \[ P173,U173=\sqrt{3}\,vX(5)+12S\,vX(523) \] et l'on constate que les triangles $H,O,P173$ et $H,O,U173$ sont deux triangles équilatéraux adossés l'un à l'autre.

Lorsque l'on garde les mêmes centres de rotation, mais que l'on tourne dans l'autre sens, on obtient deux triangles circonscrits au triangle $ABC$. Leurs 6 sommets sont également conconiques, cette fois-ci sur le cercle de rayon $R$ et centré en $H$. See ETC, just after X(18299).

Cordialement, Pierre.

Bonjour
Quelques remarques, plusieurs ayant été faites par Pappus ou pldx1. $ABC$ est supposé direct.
Tout d'abord sur les triangles inscrits $A_{1}B_{1}C_{1}$ et $A_{2}B_{2}C_{2}$ isométriques ave $ABC$. $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ étant le triangle médial, on a $\left( OA^{\prime },OA_{1}\right) =\left( OB^{\prime },OB_{1}\right) =\left( OC^{\prime },OC_{1}\right) =+\dfrac{\pi }{3}$ et $\left( OA^{\prime },OA_{2}\right) =...=-\dfrac{\pi }{3}$.
$A_{1}B_{1}C_{1}\rightarrow A_{2}B_{2}C_{2}$ est la rotation $\left( O,-\dfrac{2\pi }{3}\right) $
Si $O_{1}$ et $O_{2}$ sont les points du cercle de diamètre $\left[ GH\right] $ pour lesquels $\left( GH,GO_{1}\right) =-\left( GH,GO_{2}\right) =\dfrac{\pi }{3}$,
$ABC\rightarrow A_{1}B_{1}C_{1}$ et $ABC\rightarrow A_{2}B_{2}C_{2}$ sont les rotations $\left( O_{1},-\dfrac{2\pi }{3}\right) $ et $\left( O_{2},+\dfrac{2\pi }{3}\right) $
La conique $A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}B_{2}C_{2}$ est une hyperbole d'axe focal la parallèle à la droite d'Euler passant par l'isogonal de son point à l'$\infty $.
Les angles de cet axe focal avec les asymptotes étant $\pm \dfrac{\pi }{3}$, elle est d'excentricité $2$.
Quant au centre de cette hyperbole, aux coordonnées barycentriques peu ragoutantes, merci à Pappus de l'avoir déniché en tant que $X\left( 14993\right) $ dans ETC. J'avoue qu'il y a bien longtemps que j'ai perdu le fil des nouveaux ajouts de points dans cette encyclopédie, tant il y en a.
Amicalement. Poulbot

Bonjour
Une tentative de Rescasolisation
On a $A_{1}=-j^{2}\left( b+c\right) ,A_{2}=-j\left( b+c\right) ,...$ où $j=\exp \left( \dfrac{2i\pi }{3}\right) $.
On en déduit l'équation rescassolienne de la conique :
$s_{2}^{2}z^{2}+s_{1}s_{2}s_{3}z\overline{z}+s_{1}^{2}s_{3}^{2}\overline{z}^{2}-s_{1}\left( s_{1}s_{3}+s_{2}^{2}\right) z-s_{2}s_{3}\left( s_{1}^{2}+s_{2}\right) \overline{z}+s_{1}s_{2}\left( s_{1}s_{2}-s_{3}\right) =0$

et l'affixe de son centre $\omega =\dfrac{2s_{1}^{3}s_{3}+s_{1}^{2}s_{2}^{2}-s_{2}^{3}}{3s_{1}s_{2}^{2}}$.
La suite au prochain numéro.
Poulbot

Oui, c'est le lien qu'a mis Chaurien. Mais en math, la construction est "deux à deux" + adjectif, par exemple deux à deux égaux, deux à deux premiers entre eux, deux à deux distincts. Je ne vois pas de phrase dans le langage courant qui serait de la forme "deux par deux" + adjectif.

Bonjour,

Pour ce qui est de suivre ETC, les trois pages$ \def\etc{,\:\mathrm{etc}}$ https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/Search_6_9_13.html$\etc$ donnent les valeurs numériques des trois searchkeys des points. On peut alors classer les points en trois catégories
(0) ordinaires $6x+9y+13z=8\sqrt{35}$
(1) à l'infini $6x+9y+13z=0$
(2) valeurs complexes. Il y en a 25 en tout actuellement.

Donc, à part ces 25 points, on dispose quasi-gratuitement des trois barycentriques de ces points, c'est à dire d'une identification qui constitue une quasi-preuve et pas seulement une indication. Ensuite de quoi, un peu de travail permet d'obtenir les coordonnées complexes de ces points à partir de leurs barycentriques littéraux.

Pour ce qui est de l'excentricité des coniques, on a la formule $
\def\Adjoint{\operatorname{Adjoint}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\met{\boxed{\mathcal{M}}} \def\coni{\mathcal{C}} \def\conim#1{\boxed{\coni_{#1}}}

$ \[ \tan^{2}\left(\Delta_{1},\Delta_{2}\right)=\left(-4\right)\,\frac{\linf\cdot\Adjoint\,\conim{}\cdot\tra{\linf}}{\left\langle \met\mid\conim{}\right\rangle ^{2}}=-\frac{4\left(1-e^{2}\right)}{\left(2-e^{2}\right)^{2}}=-4\,\dfrac{a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}} \] L'angle "intuitif" est l'angle non orienté de l'un des secteurs où se loge la conique. Mais cela ne résiste pas à une déformation continue. La quantité accessible est $\tan^{2}$ parce que la donnée de la conique ne permet pas de distinguer entre $\left(\Delta_{1},\Delta_{2}\right)$ et $\left(\Delta_{2},\Delta_{1}\right)$. Et alors, on trouve deux excentricités possibles lorsque $\tan^{2}>0$. Dans notre cas, on "voit bien" que la conique est dans l'angle obtus... au moins dans le cas de la figure.

Procéder de la sorte dans un fil destiné à discuter de la rigourance des formulations... semble légèrement abusif. Comment faire mieux ?

Cordialement, Pierre