Corollaires du théorème de Pythagore

Dans le même genre, tu pourrais résoudre l'inégalité isopérimétrique pour les triangles rectangles : parmi les triangles rectangles de périmètre donné, lequel ou lesquels ont une aire maximale ?

Bonjour
Les triangles rectangles isocèles, c'est fatigant à la fin!
Le réel $k>0$ étant donné, maximiser la somme $k.b+c$
Solutions analytique et géométrique demandées.
On fera la figure pour $k=2+\sqrt 3$ et pour $k=\sqrt 3$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il n'est pas interdit d'utiliser la notion de groupe si elle est encore enseignée!

Bonsoir à tous
On peut dire que toute la géométrie euclidienne n'est qu'un vaste corollaire de l'Axiome de Pythagore.
La solution analytique du minuscule problème que j'ai donné revient à chercher les extrema de la fonction:
$$f:[0,a]\longmapsto \mathbb R; c\mapsto c+k\sqrt{a^2-c^2}$$
Ce n'est pas très difficile mais est-ce vraiment une application géométrique de l'Axiome de Pythagore mis à part la formation évidente de l'écriture de cette fonction?
J'attends plutôt une astuce géométrique basée sur l'Axiome de Pythagore et l'utilisation des similitudes directes.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Il y a des années, quand la géométrie du triangle était réputée obsolète, j'avais bricolé une démonstration de la formule de Héron qui n'utilisait que le théorème de Pythagore.

Au fait, j'aimerais savoir à quelle axiomatique on se réfère lorsque l'on parle d'axiome de Pythagore. Le livre d'Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition, 1940, en dénombre 317 preuves, ce qui fait beaucoup pour un axiome... C'est peut-être le théorème qui a eu le plus de démonstrations dans l'histoire des mathématiques, en concurrence avec la LRQ. Si vous ne savez pas ce que c'est que la LRQ, demandez-le moi, je vous répondrai volontiers ;-).
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Mon cher Piteux_gore
J'ai retrouvé le fil en question mais il n'y a pas grand chose à se mettre sous la dent et tu n'y es guère bavard.
Je reviens donc à mon astuce.
Comment l'utiliser pour résoudre ce problème d'extrémum?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
C'est encore moi qui vais me trimbaler toutes ces trivialités comme d'habitude puisque personne ne veut rien faire!
Liquidons déjà la méthode analytique une fois pour toutes.
Il s'agit d'étudier les variations de la fonction:
$$f(c) = c+k\sqrt{a^2-c^2}$$
sur l'intervalle $[0,a]$.
On dérive:
$$f'(c)=1-\dfrac{kc}{\sqrt{a^2-c^2}}$$
Je vous laisse le soin d'étudier le signe de la dérivée, faut quand même pas pousser pépé dans les bégonias.
La dérivée s'annule en un seul point: $c_{max}=\dfrac a{\sqrt{1+k^2}}$ pour lequel $f$ atteint son maximum:
$f(c_{max})=c_{max}+kb_{max}=\dfrac a{\sqrt{1+k^2}}+\dfrac {k^2a}{\sqrt{1+k^2}}=a\sqrt{1+k^2}$
Il faut bien reconnaître que ce n'est pas d'une difficulté inouïe!
Espérons que la solution géométrique soit un peu plus intéressante!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Sur ma dernière figure de ce fil, quel est le lieu du point $A_k$ quand le point $A$ décrit le demi-cercle de diamètre $BC$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Piteux_gore
Tu me réponds toujours par des questions!
Pourrais-tu au moins une fois me proposer un raisonnement quel qu'il soit et surtout surtout faire une figure?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Je précise comment je démontrais la formule de Héron comme corollaire du théorème de Pythagore.
Soit un triangle $ABC$, soit selon l'usage $AB=c>0, BC=a>0,CA=b>0$, distances vérifiant les inégalités triangulaires : $a \le b+c, b\le c+a, c \le a+b$.
Soit $Q$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $BC$, et soit $h=AQ$, qui est la hauteur cherchée.
On oriente la droite $BC $ pour que $\overline{BC}=a$. Soit $x=\overline{QB}$ et $y=\overline{QC}$. Alors d'après Pythagore et Chasles :
$y-x=a, x^2+h^2=c^2, y^2+h^2=b^2$.
C'est un système aux trois inconnues $x,y,h$ avec $a,b,c$ pour paramètres. La résolution de ce système est en elle-même intéressante.
Ce système équivaut à : $y-x=a, y^2-x^2=b^2-c^2, x^2+h^2=c^2$.
Ou encore à : $y-x=a, y+x= \frac {b^2-c^2}a, h^2=c^2-x^2$.
Ensuite, ça roule.
À 12 h 40, on est à 2°.
Bonne journée.
Fr. Ch.

@ pappus
J'ai dit que j'avais bricolé cette démonstration pour éviter les angles, à une époque où les dites « maths-modernes » avaient condamné la géométrie du triangle. Ce n'est pas la plus courte, d'accord, mais elle est conforme au titre du fil : « corollaires du théorème de Pythagore ».
Par ailleurs, je répète ma question : quelle axiomatique de la géométrie euclidienne plane comprend un « axiome de Pythagore » ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Bonjour à tous
Il y a de grandes chances qu'une similitude directe transforme un demi-cercle en un demi-cercle.
Encore faut-il faire la figure armé de sa règle, de son compas et d'une ténacité indomptable!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Voilà comment!
Le maximum de la fonction: $\Gamma\longmapsto \mathbb R^+; A\mapsto AB+kAC$ est atteint au point $M$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Même problème, même méthode:
Maximiser $A\mapsto AB+kAC$ sachant que $\widehat{BAC}=\alpha$

Merci Poulbot
Bien sûr, la même méthode géométrique marche puisque l'application $A\mapsto A'$ est toujours une similitude directe de centre $C$.
Finalement le plus dur est peut-être de faire ta figure où tu n'as pas mis en évidence tous les détails de la construction.
Ci-dessous ma propre figure, la même que la tienne où j'explicite les triangles de similitude!
La solution analytique est -elle aussi intéressante car à côté de la méthode bourrin qui consiste à remplacer $b$ en fonction de $c$ via la loi des cosinus, (dura lex sed lex), c'est le moment ou jamais d'appliquer la théorie des multiplicateurs de Lagrange mais cette théorie est-elle encore enseignée? J'ai des doutes!
Historiquement, je crois que Lagrange a inventé ses multiplicateurs pour chercher les tétraèdres de volume maximum parmi ceux dont les aires des faces sont données. Là aussi, on peut considérer ce problème comme un corollaire de l'Axiome de Pythagore comme d'ailleurs toute la géométrie euclidienne. Inutile de dire que si on veut descendre un agrégatif à l'oral, il suffit de lui poser ce problème!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous
Personne ne veut s'y coller pour le multiplicateur de Lagrange, il n' en a qu'un à se farcir!
Ce n'est pas si terrible que cela!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir Pappus
dans ce cas particulier, on a juste un cercle à tracer, mais encore faut-il trouver le bon ce qui me semble du domaine du possible.

En ce qui concerne le multiplicateur de Lagrange.
On veut maximiser $f(b,c)=c+kb$ sous la contrainte $g\left( b,c\right) =b^{2}+c^{2}-a^{2}-2bc\cos \alpha =0$.
La colinéarité des gradients donne $b-c\cos \alpha =k\left( c-b\cos \alpha \right) $.
Je n'ai pas le temps de détailler mais, en bricolant un peu, on trouve, sauf erreur, que la maximum de $f$ est atteint pour
$b=\dfrac{a\left( k+\cos \alpha \right) }{\sin \alpha \sqrt{k^{2}+2k\cos \alpha +1}},c=\dfrac{a\left( 1+k\cos \alpha \right) }{\sin \alpha \sqrt{k^{2}+2k\cos \alpha +1}}$ et vaut $a\dfrac{\sqrt{k^{2}+2k\cos \alpha +1}}{\sin \alpha }$.
Amicalement. Poulbot