$|ab|$ . Distance des points $a$ et $b$ . Invariant par isométrie.
$|ab,c| := |ac|/|bc|$ . Proportion. Invariant par similitude.
$|ab,cd| := |ab,c|/|ab'd|$ . Valeur absolue du birapport complexe $\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$ .
Invariant par cycline (trsf. circulaire), même indirecte.
$ |zf|+|zg|=\varepsilon ^{-1}|fg| $ . Eq. bipolaire de l'ellipse $E$ de foyers $f$ , $g$ et d'excentricité $\varepsilon$ .
$ |zg,f|+|zf,g|=\varepsilon ^{-1} $ . Idem, après division par $|fg|$ .
Soit $S:x\mapsto x'$ une similitude. On a
$ |z'g',f'|+|z'f',g'|=\varepsilon ^{-1} $ .
Donc $S(E)\subset F$ où $F$ est l'ellipse de foyers $f'$, $g'$ et d'excentricité $\varepsilon$
Inclusion $S(E)\supset F$ avec la réciproque de $S$
Réponses
$|ab,c| := |ac|/|bc|$ . Proportion. Invariant par similitude.
$|ab,cd| := |ab,c|/|ab'd|$ . Valeur absolue du birapport complexe $\frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}$ .
Invariant par cycline (trsf. circulaire), même indirecte.
$ |zf|+|zg|=\varepsilon ^{-1}|fg| $ . Eq. bipolaire de l'ellipse $E$ de foyers $f$ , $g$ et d'excentricité $\varepsilon$ .
$ |zg,f|+|zf,g|=\varepsilon ^{-1} $ . Idem, après division par $|fg|$ .
Soit $S:x\mapsto x'$ une similitude. On a
$ |z'g',f'|+|z'f',g'|=\varepsilon ^{-1} $ .
Donc $S(E)\subset F$ où $F$ est l'ellipse de foyers $f'$, $g'$ et d'excentricité $\varepsilon$
Inclusion $S(E)\supset F$ avec la réciproque de $S$