Un sangaku

Oui, merci pour vos constructions. La mienne était proche de celle de poulbot (voir ci-dessous).
J'avais aussi une relation entre le rayon $r$ du petit cercle et celui $R$ du grand cercle :
$r= \frac{R(R-1)}{R+1} $ avec $R = 1- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Je reviens vers vous dans quelques minutes.

Avec GeoGebra je construis un carré ABCD de centre O et de côté 1 (voir fichier joint), puis les quarts de cercle comme indiqué ci-dessus.
M est un point variable de la diagonale (AC).
Le cercle de centre M passant par T coupe (BM) en P et l'arc de centre B en Q.

Le but est de trouver la position de M pour que ce petit cercle soit aussi tangent à deux des quatre quarts de cercle.
GeoGebra peut fournir une grande précision sur cette position :
il suffit pour cela d'animer le point variable M d'une vitesse égale à, par exemple, la distance entre P et Q (cliquer pour cela sur les propriétés de M, puis sur le menu algèbre).

Lorsque M se déplace en direction de C, le point P se rapproche de Q,
et donc la vitesse de M va diminuer, jusqu'à devenir nulle lorsque P coïncidera (pour GeoGebra) avec Q.
Alors M s'arrêtera à l'endroit recherché.
(clic droit sur M puis Animer pour lancer le mouvement).

Une fois GGB stabilisé, on peut mesurer le rayon du petit cercle.
Réponse de GGB : 0.160188620508.
Une précision d'au moins 10 chiffres après la virgule, tranquillement.

Deuxième étape : on entre la valeur de ce rayon dans l'inverseur de Simon Plouffe.
Programme qui nous renvoie la valeur $\frac{1}{2+3\sqrt{2}}$.
Si ça c'est pas fantastique !

Une bonne soirée