Un théorème de Monge : plan et espace

Bonjour
Ce n'est qu'un banal théorème sur les six centres d'homothétie de trois cercles qui se groupent trois par trois pour former un quadrilatère complet.
On le trouve dans le Lebosssé-Hémery où il repose.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Soient $A_{k}$ et $r_{k}$ le centre et le rayon du cercle $\Gamma _{k}$. Supposons $A_{1,}A_{2},A_{3}$ non alignés (sinon tous les centres d'homothétie sont tous alignés) et prenons-les pour repère barycentrique.
Les centres d'homothétie positive et négative de $\Gamma _{2}$ et $\Gamma _{3}$ sont $H_{1}^{+}=\left( 0:\dfrac{1}{r_{2}}:-\dfrac{1}{r_{3}}\right) $ et $H_{1}^{-}=\left( 0:\dfrac{1}{r_{2}}:\dfrac{1}{r_{3}}\right) $.
De même $H_{2}^{+}=\left( -\dfrac{1}{r_{1}}:0:\dfrac{1}{r_{3}}\right) ,H_{2}^{-}=\left( \dfrac{1}{r_{1}}:0:\dfrac{1}{r_{3}}\right) ,H_{3}^{+}=\left( \dfrac{1}{r_{1}}:-\dfrac{1}{r_{2}}:0\right) ,H_{3}^{-}=\left( \dfrac{1}{r_{1}}:\dfrac{1}{r_{2}}:0\right) $. Il en résulte que
$H_{1}^{+},H_{2}^{+},H_{3}^{+}$ sont alignés sur la droite $r_{1}x+r_{2}y+r_{3}z=0$
$H_{1}^{+},H_{2}^{-},H_{3}^{-}$ sont alignés sur la droite $-r_{1}x+r_{2}y+r_{3}z=0$
$H_{1}^{-},H_{2}^{+},H_{3}^{-}$ sont alignés sur la droite $r_{1}x-r_{2}y+r_{3}z=0$
$H_{1}^{-},H_{2}^{-},H_{3}^{+}$ sont alignés sur la droite $r_{1}x+r_{2}y-r_{3}z=0$
Amicalement. Poulbot

PS : j'ai des doutes sur le fait que Monge ait été le premier à découvrir son résultat et je ne serais pas surpris qu'il ait été connu dès l'Antiquité

L'originalité de cette démonstration c'est d'utiliser la géométrie dans l'espace pour démontrer une propriété relevant de la géométrie plane. Mais on n'a pas attendu cette vidéo de 2018 pour trouver cette démonstration. Je la connaissais depuis longtemps, mais malheureusement je n'ai pas conservé de référence. En avez-vous ?

On démontre de même le théorème de Desargues en considérant la configuration comme une figure de l'espace ; il faut ensuite invoquer un principe de continuité. Là j'ai une référence : Hilbert, Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, Chelsea 1952, p. 121, traduction en anglais de Anschauliche Geometrie, Berlin 1932. Bizarrement, cet excellent ouvrage n'a jamais eu de traduction en français, à ma connaissance.
http://www.plouffe.fr/simon/Phys et Math/Hilbert David-Geometry and the Imagination.pdf

Connaissez-vous d'autres propriétés géométriques avec ce type de démonstration ?

Bonne journée, avec une pensée pour les Franciliens dans la galère.
Fr. Ch.

bonjour,
la démonstration qui utilise la géométrie dans l'espace est la démonstration de Monge.

Bien cordialement.
kolotoko

poulbot écrivait:

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PS : j'ai des doutes sur le fait que Monge ait été le premier à découvrir son résultat et je ne serais pas surpris qu'il ait été connu dès l'Antiquité

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Je place Ménélaüs en première ligne parmi ceux qui peuvent l'avoir connu.

Bonjour,

Chaurien :Connaissez-vous d'autres propriétés géométriques avec ce type de démonstration ?

Je pense au théorème de Dandelin.

Bien cordialement.

kolotoko

Et hop, une station de métro pour Chaurien!
Si l'on coupe le lieu des points qui ont même puissance wrt A et B par le lieu des points qui ont même puissance wrt B et C, alors... Pour gagner une station de correspondance, il faut fournir un youtub, et être oint par le comité du "cépabanal".

Cordialement.

En effet, kolotoko, les mathématiciens sont généralement désavantagés pour les noms de rues, places, lycées, stations de métro, etc. Il me semble que nous en avons parlé sur ce forum.
Il y a bien une station « Laplace » dans le RER, mais ce n'est plus Paris.
Je préconiserais bien qu'on débaptise la station « Guy-Môquet » pour l'appeler « Legendre », mais je ne suis pas certain que cette idée recueille suffisamment d'approbation (:D.

Très bonne idée Chaurien!
Guy Moquet a été assassiné par les nazis le 22 Octobre 1941 à l'âge de 17 ans!
Tu vas avoir du succès!
[small]p[/small]appus

Bonjour, l'exo initial se prouve par Thalès. Il fallait le mettre dans l'autre fil (ex diff. sur Thalès). Sans dessiner des cercles !
À bientôt.

Vous voyez les projections orthogonales, intuitivement, le grand cercle de rayon $BC=AB$, les deux qui restent ont $HL$ ($\neq HF$ peut-être) et $GM$ comme rayons.
Le point d'intersection au coin de la figure disons $X$ ensuite à prouver que $\dfrac{GM}{HL}=\dfrac{XG}{XH}$ Là on applique Thalès aux trois parallèles qui coupent $[DE]$.