Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
Résolution géométrique d'une éq de degré 2
dans Géométrie
Bonjour,
Qu'entend-on exactement par résolution géométrique d'une équation de degré 2 (ou plus) ?
S'agit-il de lire des racines (approchées) sur l'axe des abscisses ou sur une courbe quelconque auxiliaire ?
S'agit-il de construire à la règle et au compas des points matérialisant les racines (exactes) ?
S'agit-il, comme le faisaient les Babyloniens, de traduire l'équation en une égalité d'aires (carré de côté $x$ plus rectangle de côtés $b, x$ = aire $c$ donnée ?
A+
Qu'entend-on exactement par résolution géométrique d'une équation de degré 2 (ou plus) ?
S'agit-il de lire des racines (approchées) sur l'axe des abscisses ou sur une courbe quelconque auxiliaire ?
S'agit-il de construire à la règle et au compas des points matérialisant les racines (exactes) ?
S'agit-il, comme le faisaient les Babyloniens, de traduire l'équation en une égalité d'aires (carré de côté $x$ plus rectangle de côtés $b, x$ = aire $c$ donnée ?
A+
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Ou encore l’ Orthogone de Lill
Y a-t-il un distinguo à faire entre résolution géométrique et résolution graphique ?
A+
J’ai plutôt l’impression qu’on joue sur les mots.
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne vois pas ce que vient faire Al Kwarizmi dans cette question qui ne porte pas sur l'histoire des Mathéméatiques.
Résoudre une équation du second degré revient à chercher deux nombres réels ou complexes connaissant leur somme $s$ et leur produit $p$:
$x'+x''=s$ et $x'x''= p$
Cela revient à chercher les points fixes de l'application $x\mapsto s-\dfrac p x$
qui est l'écriture d'une transformation circulaire directe.
Rechercher les points fixes d'une application est une activité à plein temps dans beaucoup de domaines des Mathématiques.
On se doute que nos anciens ont donné de de ce problème de géométrie circulaire diverses solutions toutes basées sur la construction de divers quadrangles harmoniques.
Mais comme la géométrie circulaire a disparu à tout jamais de notre culture, on peut évidemment se contenter de trouver un segment dont la longueur répond à la question.
Cela fait en tout cas passer le temps qui risque d'être long!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une autre façon de faire dans le cas réel serait de chercher l'image de l'application:
$$\mathbb R^2\longmapsto \mathbb R^2; (x,y)\mapsto (x+y,xy)$$
puis de méditer sur le résultat obtenu!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La géométrie affine se limitant chez nous grosso modo à l'Axiome de Thalès, inutile de dire qu'il vaut mieux oublier cette épouvantable figure!
-- Schnoebelen, Philippe
Les réponses d'Al Khwarzimi n'ont qu'un intérêt historique!
On ne va quand même pas recommencer les Mathématiques à zéro!
Amicalement
[small]p[/small]appus
-- Schnoebelen, Philippe
Tu peux te placer à tous les niveaux que tu veux mais il faut le faire avec les mathématiques d'aujourd'hui!
Amicalement
[small]p[/small]appus
-- Schnoebelen, Philippe
Si tu es si enthousiaste des idées d'AlKhwarzimi, détaille nous avec des mots simples un exemple concret d'application aux équations du second degré sans rester dans des généralités et on en reparlera!
Amicalement
[small]p[/small]appus
-- Schnoebelen, Philippe
C'est un lien qui ne nous apprend rien de nouveau sur la résolution des équations du second degré qu'on puisse expliquer à des collégiens.
ll n' a qu'un intérêt historique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Par contre j'attends des réactions à la figure de fm_31 et à la mienne!
La figure de fm_31 m'interpelle évidemment mais il ne nous a pas dit quelle équation sa figure est censée résoudre.
Cela fait partie de la devinette?
Serait-ce $ax^2+bx+c=0$?
Il n'y a pas de honte à le dire si c'est le cas!
Quant à la mienne, elle a un gros rapport avec l'application:
$$\mathbb R^2\longmapsto \mathbb R^2;(x,y)\mapsto (x+y,xy)$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai refait la figure de fm_31 avec quelques modifications pour aider ceux qui auraient l'idée saugrenue de la justifier avec le néant de géométrie qu'ils ont appris au lycée.
J'ai simplement mis des abscisses à tous les points situés sur l'axe des $x$ et des ordonnées à tous ceux qui sont situés sur l'axe des $y$
Je me suis arrangé aussi pour que l'unique cercle de la figure n'ait pas l'air d'avoir le segment $x_1x_2$ pour diamètre comme on pourrait le croire sur sa figure, ce qui risque d'induire en erreur.
Il s'agit bien de résoudre l'équation:
$$ax^2+bx+c=0$$
Quelques remarques:
La construction de fm_31 est euclidienne et la mienne est affine.
On ne voit pas très bien sur sa figure quand sa construction marche et quand elle ne marche pas alors que sur la mienne les choses sont parfaitement claires.
Bon courage pour justifier les deux figures!
La morale de l'histoire?
Pour résoudre une équation du second degré, il faut faire intervenir des courbes du second degré: un cercle (euclidien) pour fm_31 et une parabole (affine) pour moi mais sans doute qu'Al Khwarizmi a quelque chose de mieux à nous dire?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je laisse le soin à fm_21 de nous dire quand sa construction mène à des racines réelles.
Je m'occupe de ma propre figure.
Il s'agit de chercher l'image de l'application:
$$f:\mathbb R^2\longmapsto \mathbb R^2; (x,y)\mapsto (x+y, xy)$$
Le point $(s,p)$ appartiendra à cette image si et seulement si les équations:
$$
\begin{cases}
x+y&=&s\\
xy&=&p
\end{cases}
$$
ont des solutions
Ce qui revient à dire que les racines du polynôme $X^2-sX+p$ sont réelles c'est à dire si et seulement si le discriminant $\Delta=s^2-4p\ge 0$ est positif.
L'image de $f$ est donc l'extérieur de la parabole d'équation $x^2-4y=0$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ensuite il s'agit de prouver la figure ci-dessous.
On sent confusément que cela va saigner!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$x^2-sx+p=0$ due à l'Ecossais Thomas Carlyle (1795 - 1881).
Ayant dessiné les axes cartésiens on place U(0,1) , S(s,0) , P(0,1+p) .
On construit ensuite le milieu M(s/2, (1+p)/2)) de [SP] et le cercle de centre M passant par U .
Ce cercle est le cercle de Carlyle c . Les abscisses des points d'intersection
X1 et X2 de c et de l'axe Ox sont les solutions cherchées.
J'avais vu une construction plus simple du cercle de Carlyle (wikipedia)
Cordialement
Effectivement, c'est une construction plus simple.
Merci
La droite $T'T''$ est la polaire du point $M(s,p)$ par rapport à la parabole d'équation: $x^2-4y=0$.
Son équation s'obtient par la défunte règle du dédoublement des termes (polarisation):
$$sx-2(y+p)=0$$
L'équation aux $x$ de ses points d'intersection avec la parabole d'équation: $x^2-4y=0$ est: $x^2-2sx+4p=0$.
La somme des racines est $2s$ et le produit des racines $4p$, les racines de cette équation sont bien $(2x',2x'')$, d'où ma figure où il ne reste plus qu'à justifier que les tangentes $MT'$ et $MT''$ coupent l'axe des $x$ aux points d'abscisses $x'$ et $x''$, (sans doute encore quelques moments épouvantables à supporter!).
J'ai tracé en rouge la parabole d'équation $y=x^2-sx+p$
L'avantage de ma construction est que la conique utilisée est indépendante du point $M(s,p)$ et que c'est justement la parabole-discriminant.
On voit clairement sur la figure que les racines sont réelles si et seulement si le point $M(s,p)$ est à l'extérieur de la parabole-discriminant.
Ce qu'il y a de particulièrement révulsant dans ma figure est l'utilisation de la défunte théorie des coniques en géométrie affine.
Ma figure restera donc un profond mystère.
Quelques uns soutiendront aussi que ma figure n'est pas constructive du moins par le commun des mortels alors que la figure euclidienne avec son cercle l'est facilement
Pourtant j'ai réussi à tracer cette figure sans aucun problème.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le point U(0,1) qui intervient dans la construction de Carlyle et ses variantes est le foyer de la parabole d'équation $x^2-4y=0$, ce qui correspond à une propriété plus générale : soit M un point extérieur à une parabole de foyer F. Les tangentes à la parabole passant par M coupent la tangente au sommet S en deux points P et Q. Alors le centre O du cercle passant par M, P et Q est le milieu du segment [FM].
Ta figure fait effectivement le lien entre ma figure et la construction de Carlyle!
Ci-dessous ma propre figure qui est la même que la tienne.
Cette fois on travaille dans $\mathbb R^2$ euclidien usuel, ce qui fait que ma parabole a tout de suite un aspect plus sympathique puisqu'on voit son foyer et sa tangente au sommet.
La construction de Carlyle des tangentes à la parabole issues d'un point n'est pas tout à fait celle qu'on trouve dans le Lebossé-Hémery ni dans les autres livres d'enseignement de la même époque.
L-H considère les symétriques du foyer par rapport aux tangentes qui se trouvent sur la directrice.
On tombe ainsi sur une autre construction de ces tangentes qui ne diffère de celle de Carlyle que par une homothétie de centre $F$ et de rapport $2$ si tant est qu'on sache encore aujourd'hui ce qu'est une homothétie.
Il est clair que la construction de Carlyle est plus simple puisqu'on a qu'à prendre les intersections d'un cercle et d'une droite mais elle cache la parabole-discriminant indispensable dans la discussion.
C'est le contraire pour la mienne, elle montre de suite la parabole-discriminant mais semble apparemment plus compliquée à construire!
Je reviendrai plus tard sur ces problèmes de construction qui sont graphiques et qui n'ont rien à voir avec la résolution algébrique de l'équation!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne comprends pas très bien de quels problèmes de construction tu parles pappus. Quoi qu'il en soit je propose une construction alliant la méthode de Torricelli et une propriété des tangentes à la parabole :
- la parallèle à $(Sy)$ passant par $M(s,p)$ coupe la parabole d'équation $x^2-4y=0$ en un point $T$ ;
- $H$ est le projeté de $T$ sur $(Sy)$, $H'$ le symétrique de $H$ par rapport au sommet $S$ de la parabole ;
- $M'$ est le symétrique de $M(s,p)$ par rapport à $T$ ;
Alors la polaire du point $M(s,p)$ par rapport à la parabole d'équation $x^2-4y=0$ est la parallèle à $(TH')$ passant par $M'$, ce qui permet ensuite d'obtenir les racines $x_1$ et $x_2$ en traçant les tangentes à la parabole passant par $M(s,p)$.
Analyse bien ta construction.
Tu ne mènes que des parallèles ou tu ne fais que des symétries centrales.
Ta construction est donc affine et c'est exactement la construction que j'ai suivie.
Mais comment as-tu construit les intersections de la polaire avec la parabole?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Autrefois quand la géométrie existait encore, nous avions des ouvrages concernant les applications de l'analyse à la géométrie, cette configuration est donc anecdotique car elle montre une des rares applications de la géométrie à l'analyse et comme la géométrie a elle même disparu, elle n'a plus qu'un intérêt historique.
Aujourd'hui il est clair qu'il vaut mieux connaître les formules donnant les racines d'une équation du second degré que l'existence de cette configuration.
Pourtant elle interpelle les géomètres justement par les problèmes de construction qu'elle pose.: ici tangentes issues d'un point à une parabole ou intersections d'une droite avec une parabole, des constructions que plus personne ne sait effectuer aujourd'hui sauf en farfouillant dans de vieux grimoires.
Je vais reprendre les constructions de Ludwig du point de vue d'un bachelier d'il y a cent ans en essayant de respecter ses notations
Notre bachelier est face à la parabole de foyer $F$ et de sommet $S$ à laquelle il doit mener les tangentes issues du point $M$. Bien sûr cette construction se trouve dans le Lebossé-Hémery sous une forme légèrement différente mais je vais respecter la construction de Ludwig.
Vous remarquerez que je n'ai fait que suggérer le tracé de la parabole pour la bonne et simple raison que notre bachelier ne sait pas le faire. Il doit faire sa construction comme s'il la voyait vraiment.
Il commence par tracer le cercle de diamètre $FM$ qui coupe la tangente au sommet aux points $X'$ et $X''$ dont nous savons que les abscisses sont les racines de notre équation du second degré.
Les tangentes sont les droites $MX'$ et $MX''$.
Il ne manque plus au rapport que leurs points de contact situés sur la parabole.
Je suis la méthode de Ludwig qui considère le point $T$ intersection de la parabole avec la parallèle à l'axe issue de $M$. Ludwig ne nous a pas dit comment il construisait $T$, heureusement notre bachelier le sait parfaitement.
La parallèle à l'axe coupe la directrice en $T'$. La médiatrice de $FT'$ coupe $MT'$ en $T$ et la tangente en $T$ à la parabole est justement la médiatrice de $FT'$.
On continue comme Ludwig avec le point $M'$ et la polaire qui coupe les tangentes $MM'$ et $MM''$ aux points de contact $T'$ et $T''$ cherchés.
Alors seulement notre Bachelier essayera de tracer plus ou moins bien la parabole à la main (via la construction de quelques points courants).
Aujourd'hui nous sommes avantagés par nos logiciels qui tracent cette parabole directement sans état d'âme.
Historiquement les bacheliers ne connaissaient pas la polaire mais ils savaient que $X'$ était le milieu de $SU'$ et $X''$ le milieu de $SU''$,.
Donc ils ne construisaient pas $T$ et la polaire mais les points $U'$ et $U''$ puis les points $T'$ et $T''$.
Remarque: la construction des tangentes issues de $M$ à la parabole du Lebossé-Hémery fournit aussi ces points de contact.
Je donnerai ma propre construction dans un prochain message.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sur cette nouvelle figure, j'ai mis en bleu la construction du Lebossé-Hémery des tangentes issues de $M$ et en rouge le cercle de Carlyle.
On voit bien apparaître l'homothétie de centre $F$ et de rapport $2$
La tangente en $T'$ est la médiatrice de $FV'$, $X'$ est le milieu du segment $FV'$ et par projection aussi le milieu de $SU'$, merci au Divin Axiome de Thalès!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je commente maintenant ma propre construction affine
Je commence à choisir en rouge le repère dans lequel je vais travailler et qui me permet d'identifier le plan affine à $\mathbb R^2$.
Je place les points $(\pm 2,1)$ et $(\pm 4,4)$, ce n'est pas trop difficile (?).
Avec l'outil conique passant par cinq points de mon logiciel, je trace la conique passant par les cinq points $(0,0)$, $(2,1)$, $(-2,1)$, $(-4,4)$, $(4,4)$ et qui, d'après le soi-disant cours sur les coniques, se trouve être la parabole dont l'équation dans notre repère est: $x^2-4y=0$
(à suivre)
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'achève ma construction.
Je suis la méthode de Ludwig
La parallèle à $Sy$ passant par $M$ coupe la parabole en $T$, (intersection fournie par l'outil intersection du logiciel).
La tangente en $T$ à la parabole passe par le milieu $U$ de $ST'$, (cela se voit dès qu'on sait que la fonction dérivée de la fonction $x\mapsto x^2$ est la fonction $x\mapsto 2x$) ou bien, (si on est vraiment aussi nul en analyse qu'en géométrie), par l'outil tangente en un point d'une conique du logiciel.
On trace le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $T$.
La polaire de $M$ tracée en rouge est la parallèle à la tangente en $T$ à la parabole passant par $M'$.
L'outil intersection du logiciel fournit alors les points de contact à l'intersection de la polaire et de la parabole.
Avec mon logiciel, ce n'est pas trop fatigant car il possède l'outil: tangentes issues d'un point à une conique avec les points de contact s'il vous plait.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonne soirée,
Ludwig
Amicalement
[small]pappus[/small]
La pente de la polaire valant $\frac s2$, la figure ci-dessous montre comment je m'y suis pris pour construire le point $R'(1,\frac s2)$.
J'ai tracé en bleu le repère cartésien qui permet d'identifier le plan à $\mathbb R^2$.
On peut ainsi tracer la polaire sans passer par ton point $T$.
Mais pour avoir les points de contact comme intersection de la polaire avec la parabole, on est bien obligé de se servir de l'outil intersection du logiciel!
Donc tant qu'à s'en servir, autant passer par ton point $T$, c'est plus simple car on a pas besoin d'utiliser le repère!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Finalement la construction est plus intéressante à faire que la résolution de l'équation du second degré elle même!
Question supplémentaire: comment ai-je fait pour tracer la parabole rouge d'équation: $y=x^2-sx+p$?
Pour tracer la parabole d'équation $y=x^2-sx+p$ je dirais que tu as utilisé l'outil conique par 5 points, les 5 points étant $M$, $P$, les intersections des tangentes avec $(Sx)$, et un cinquième point qui est le sommet de cette parabole. Les coordonnées de ce sommet sont $x=\frac{s}{2}$ et $y=p-\frac{s^2}{4}$. Point facilement constructible puisque $y(M)=p$ et $y(T)=\frac{s^2}{4}$.
Une question liée à ce fil mais pas forcément à ta construction : peut-on fabriquer un système articulé mécanique, un peu comme ceux qui dessinent les courbes classiques, système qui permettrait de trouver une bonne valeur approchée des racines de $x^2-sx+p=0$, en agissant sur des réglettes pour choisir les valeurs de $s$ et de $p$ ?
Je ne sais pas trop ce que tu entends par sommet d'une parabole en géométrie affine.
Non, j'ai utilisé le fait qu'une parabole est parfaitement connue quand on en connait trois points et sa direction asymptotique.
Pourquoi?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bon ben il pleut. Tâchons de faire en sorte que le soleil soit dans nos classes.
Une bonne journée
Voici comment je procède.
Je me donne trois points $A$, $B$, $C$ et une droite $L$ et je cherche à construire la parabole passant par $A$, $B$, $C$ er de direction asymptotique $L$.
Je trace les sommets du triangle médial et je trace les parallèles à la droite $L$, à savoir $L_A$, $L_B$, $L_C$ passant par ces points.
J'utilise alors la défunte théorie affine des diamètres de la parabole
La symétrie affine $s_A$ d'axe $L_A$ échangeant $B$ et $C$ conserve la parabole.
Donc $A''=s_A(A)$ appartient à la parabole.
Je construis de même les points $B''$ et $C''$ et j'obtiens pratiquement gratis pro deo six points $A$, $B$, $C$, $A''$, $B''$, $C''$ sur la parabole plus qu'il n'en faut pour la tracer.
Je te rappelle que le sommet d'une parabole est caractérisé en géométrie euclidienne par le fait que sa tangente est perpendiculaire à sa direction asymptotique.
Une parabole n'a donc pas de sommet en géométrie affine!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS Pour être complet, il reste la construction du point courant et de sa tangente mais c'est encore une autre histoire.
Voici la construction du point courant et de sa tangente comme promis.
De la figure précédente, j'ai gardé la direction asymptotique matérialisée par le diamètre $L_A$ passant par le milieu $A'$ de $BC$.et aussi le point $A''=s_A(A)$.
A tout point $M$ de la parabole, j'associe le point $\mu$, sa projection sur $BC$ parallèlement à $L_A$ et le point $\mu'=AM\cap L_A$.
D'après les défunts théorèmes généraux, les points $\mu$ et $\mu'$ sont en homographie sur les droites $BC$ et $L_A$.
Mais il est facile de voir que dans cette homographie,les points à l'infini des droites $BC$ et $L_A$ se correspondent.
Résultat des courses, la correspondance entre les points $\mu$ et $\mu'$ est affine.
Le démontrer en restant dans le cadre des programmes étiques actuels est sans doute un petit tour de force.
Si on complète le parallélogramme $\mu A'\mu'\mu''$, on sait que le lieu de $\mu''$ est une droite $\Delta$, le fameux graphe.
On détermine ce graphe en construisant deux de ses points via $M=B$, ce qui donne le parallélogramme $BA'\beta'\beta''$ et $M=C$, ce qui donne le parallélogramme $CA'\gamma'\gamma''$, (à condition de savoir évidemment qu'une droite est entièrement déterminée par deux de ses points).
On peut alors tracer le graphe $\Delta=\beta''\gamma''$.
Une fois ceci fait, on peut construire le point $M$ de la parabole qui se projette en $\mu\in BC$.
On projette le point $\mu$ sur le graphe $\Delta$ parallèlement à $L_A$ en un point $\mu''$.
On projette le point $\mu''$ sur le diamètre $L_A$ parallèlement à $BC$.
Alors $M=A\mu'\cap \mu\mu''$.
Les intersections du graphe $\Delta$ avec la parabole sont d'une part le point $A''$ et d'autre part le point $S=L_A\cap \Delta$.
La tangente en $S$ (qui n'est pas un sommet) est la droite $\sigma$ parallèle à $BC$.
On peut alors construire la tangente en $M$.
On projette $M$ sur $\sigma$ parallèlement à $L_A$ au point $t'$ et le milieu $t$ du segment $St'$ est sur la tangente en $M$.
On a déjà rencontré ce phénomène plus haut dans ce fil!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ainsi une parabole affine donnée par trois de ses points et une direction asymptotique est aussi connue que peut l'être une parabole euclidienne donnée par son foyer et sa directrice.
On peut donc raisonner sur une telle parabole et faire des figures exactement comme l'aurait un bachelier d'il y a cent ans avec une parabole euclidienne sans disposer du moindre ordinateur.
Mais je crois que je me suis donné beaucoup de mal pour pas grand chose!!
Je pense avoir compris que, pour cette nouvelle figure, la tangente en $S$ et la droite $L_A$ jouent le même rôle que les axes $(Sx)$ et $(Sy)$ pour la parabole précédente, celle d'équation $x^2-4y=0$. Mais les détails de ta construction pappus me passent un peu au-dessus de la tête je dois bien le reconnaître.
Ludwig, bachelier de la fin du $XX^e$ siècle
Tu peux au moins vérifier la véracité de ma construction sur ton ordinateur et essayer d'en donner avec les maigres moyens qui nous restent une preuve analytique du genre de celles de Descartes, il y a presque quatre siècles.
On est quand même pas tombé aussi bas pour en être revenu avant Lui!
Amicalement
[small]p[/small]appus