Rectangle inscrit dans un rectangle
Réponses
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Malgré ma bonne volonté, je ne comprends rien,
mais alors vraiment rien à ce que tu as écrit.
Peux tu reformuler ? -
Bonjour à tous
Je ne vois pas très bien quelles sont les difficultés de cette construction.
Il n'y a qu'une seule explication possible: les angles droits viennent de se faire la malle en compagnie de l'Axiome de Pythagore!
Heureusement il nous reste encore provisoirement l'Axiome de Thalès
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Problème
Un rectangle ABCD 5 x 4
Un rectangle inscrit dont un coté à un angle de 20 degré par rapport au rectangle ABCD.
Dessiner ce rectangle sans calculer. -
Sans calculer (?!).
Il suffit de construire les angles droits, non ? -
Bonjour Dom.
"Il suffit de construire les angles droits, non ?"
Oui, mais où ? Autrement dit, comment trouver un sommet du rectangle à construire.
Je laisse les géomètres décoder la figure initiale ... ou ClaudeP s'expliquer.
Cordialement. -
Bonjour
Le problème était seulement mal posé!
Ci-dessous la construction que je suggère.
$F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $OP$.
$F'$ est le symétrique de $F$ par rapport à $AD$.
$F''$ est l'intersection de la droite $AF'$ avec la droite $OP$.
$A'D'$ est la perpendiculaire en $F''$ à la droite $OP$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je comprends qu'on dispose du grand rectangle.
Puis que l'on choisit un point sur un côté, qu'on trace l'angle de 20° ... et donc qu'on a un autre point sur un deuxième côté du rectangle. Puis on y trace un angle droit...qui rencontre le troisième côté du rectangle...puis encore un angle droit.
Mince, quelque chose m'échappe apparemment. -
La figure obtenue ne se referme pas nécessairement en un rectange…
-
Bonsoir à tous
Quel raisonnement ai-je tenu pour passer du parallélogramme rouge au rectangle bleu.
Vous me croirez si vous voulez mais je n'ai fait strictement aucun calcul.
C'est mon logiciel (L.A.[small]p[/small]) qui a trouvé la construction!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Gérard, gb, mais où avais-je la tête ?! :-S
Merci bien :-) -
Merci
-
Mon cher Claude
On est même pas à la fin du commencement!
On en est qu'au début
Il faut quand même justifier ma construction et il y a pas mal de géométrie sous-jacente.
J'ai vraiment résolu ton problème grâce à mon logiciel en lui posant les bonnes questions!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Ma façon compliquer est une réduction du rapport du rectangle suivant.
-
Mon cher Claude
Toujours aussi incompréhensible!
Si tu avais posé ton problème plus clairement dès le début, on n'aurait pas pédalé dans la semoule.
Quant à ce choix de l'angle de $20°$, je te soupçonne d'être un trisecteur refoulé.
Ma première solution était euclidienne, en voici une autre apparemment plus compliquée mais affine.
Curieusement ton problème rejoint d'une certaine façon les préoccupations de la fin de ce fil récent.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Si vous faites cette figure avec Geogebra, le point $M$ étant libre de se promener sur la droite $AB$, vous verrez le parallélogramme $MNPQ$ se déformer, le rectangle bleu restant fixe. C'est un peu la méthode de la fausse position: on part d'un parallélogramme arbitraire qui ne marche pas pour arriver au rectangle solution.
En ce sens, cette construction affine est plus logique que la construction euclidienne.
On essaye pour voir ce qui se passe puis on corrige! -
Bonjour à tous.
Je vais changer un peu mes codes couleurs pour bien montrer ce qui se passe.
On se donne le rectangle $ABCD$ et il s'agit de construire le rectangle inscrit $A'B'C'D'$ tel que l'angle $\alpha=\widehat{BA'B'}$ soit donné.
Vous savez combien il est délicat de parler d'angles.
Plus personne ne sait vraiment aujourd'hui ce que c'est et seuls quelques agrégatifs et capésiens se dépatouillent comme ils peuvent avec leurs classes d'équivalences.
Comme je vais vous expliquer d'abord la solution affine parce qu'elle est la plus simple, je vais progressivement me débarrasser de ces angles cauchemardesques imitant ainsi Alain Robbe-Grillet dans son film datant de $1974$: Glissements progressifs du plaisir.
Moins on parle d'angles et plus il y a du plaisir.
Il suffit de définir dans un petit coin de la figure les directions orthogonaless $\delta$ et $\delta'$.
Et maintenant on a plus qu'à chercher les parallélogrammes inscrits $A'B'C'D'$ tels que $A'B'\parallel C'D'\parallel \delta$ et $A'D'\parallel B'C'\parallel \delta'$..
On a presque évacué la notion d'angles. Pour comprendre cette figure, il suffit de savoir ce qu'est un angle droit.
Evidemment peu de collégiens, de lycéens et d'étudiants savent exactement toute la géométrie qui se cache derrière cette notion d'angle droit, alors je vais sauter le pas et me débarrasser une fois pour toutes de ces angles effrayants
Dans le plan affine, on se donne un parallélogramme $ABCD$ et deux directions arbitraires $\delta$ et $\delta'$ et on cherche les parallélogrammes inscrits $A'B'C'D'$ tels que $A'B'\parallel C'D'\parallel \delta$ et $A'D'\parallel B'C'\parallel \delta'$.
Incroyable, on a présenté le problème de Claude sans parler d'angles!
La vie n'est-elle pas belle?
Maintenant quand je parle de solution affine, c'est à la solution de ce second problème que je pense.
C'est un problème de géométrie affine!
Et que certains n'aillent pas invoquer les sourates d'AlKashi pour le résoudre.
Ce problème n'est qu'une simple chasse aux rapports (de section) dans les alpages et (algébriques ou segmentaires) chez nous c'est à dire des applications répétées du Divin Axiome de Thalès!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
Soit $f:AB\to AB$ l'application affine composée de quatre projections telle que $AB\mapsto ab$.
Son point fixe $A'$ (qui se calcule facilement) permet de répondre au dernier problème de pappus. -
Merci Gai Requin
Tu as fait une belle figure mais il y a un peu de flou sur la photo!
J'ai bien compris qu'on a une application affine $f:AB\mapsto AB$, composée de quatre projections
Partant du point $a$, on doit arriver au point $f(a)$, peut-être est-ce le point $b$ de ta figure mais rien n'est moins certain.
Peux-tu sur une nouvelle figure étiqueter les points intermédiaires obtenus en composant successivement tes projections et pourquoi pas étiqueter tes projections elles mêmes!
Il faut penser un peu à tes lecteurs: tout doit être fait pour emporter leur conviction!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus,
J'ai bien précisé que $f(A)=a$ et $f(B)=b$ et on n'a besoin de rien d'autre.
Il ne faut pas beaucoup d'imagination pour se figurer les quatre projections que j'ai choisies. -
Mon cher Gai Requin
C'est bien ce que je te reproche.
C'est suggéré effectivement sur ta figure mais tu ne l'as pas dit explicitement.
Beaucoup de tes lecteurs sont des néophytes et il faut être aux petits soins avec eux.
Cet exercice (affine) peut être résolu à plusieurs niveaux:
1° Au niveau agrégation où on peut parler librement de structure affine et de compositions de projections
2° An niveau lycée ou collège, je ne sais trop, en tout cas dès qu'on aborde l'Axiome de Thalès, où on se contentera de manipuler avec grande précaution, des milieux et des parallélogrammes.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je crois que la plus grande difficulté (?) est justement la construction du point fixe mais évidemment pas question de parler de points fixes à des collégiens ou des lycéens. Il faut leur trouver une autre présentation! -
Bonjour à tous
On commence comme je l'ai dit, on essaye!
On projette le point $a$ en $b$ sur $BC$ parallèlement à $\delta$.
On a plus le choix pour les deux autres sommets qui sont les symétriques de $a$ et $b$ par rapport au centre $O$ du parallélogramme $ABCD$.
On tombe bien sur un parallélogramme $abcd$ tel que $ab\parallel cd\parallel \delta$ mais on constate avec grande tristesse que $ad\parallel bc\not\parallel \delta'$.
Comment faire?
Eh bien la première chose qui m'a paru évidente est de s'intéresser à la façon dont les points $a$ et $d$ dépendent l'un de l'autre.
C'est René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye-en-Touraine (aujourd'hui Descartes) et mort le 11 février 1650 à Stockholm qui le premier a eu la brillante idée de compléter le parallélogramme $aAdm$ pour voir ce que cela donnerait.
Gai Requin compose des applications affines et moi je passe mon temps devant d'hypothétiques lycéens à tracer des parallélogrammes.
Regardez bien ma figure de tous vos yeux, Regardez
On obtient un parallélogramme $amCB$.
Comment un professeur de Collège expliquerait-il ce phénomène à ses élèves?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
Je termine quand même.
La projection sur $AB$ parallèlement à la direction verte permet de construire le centre $A'$ de l'homothétie $f$ ! -
Merci Gai Requin
Je voudrais que tes lecteurs comprennent combien la présentation de ta solution comme recherche d'un point fixe est ultra-importante
Tu pourras bientôt comparer ta solution avec la mienne où j'essaye de ne pas parler de composition (de quoique ce soit) ou de point fixe pour ne traumatiser personne!
En tout cas pour le moment aucune nouvelle du côté des professeurs de Collège, cette sombre histoire de parallélogrammes serait-elle mission impossible?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Rebonsoir Gai Requin
Ton lecteur est heureux d'apprendre que la projection sur $AB$ parallèlement à la direction verte permet de construire le point fixe $A'$ de l'homothétie $f$ mais il aimerait bien se passer de sa permission.
Je mets à part ta construction finale pour bien exhiber la technique utilisée.
Je change donc légèrement tes notations en appelant $O$ le centre de l'homothétie $f:(A,a)\mapsto (B,b)$.
Ton idée est de composer $f$ avec une translation $\tau:(B,b)\mapsto (B_1,b_1)$ dont le vecteur ne dirige pas la droite $AB$
On tombe sur une homothétie $f'=\tau\circ f:(A,a)\mapsto (B_1,b_1)$ dont le centre d'homothétie est $O'=ab_1\cap AB_1$
Maintenant $f'(O)=\tau(f(O))=\tau(O)=O_1$.
Par suite la droite $OO_1$ passe par $O'$ et $O$ est la projection de $O'$ sur $AB$ parallèlement à la direction de la translation.
Ce raisonnement me semble loin d'être évident.
Tu pourras bientôt comparer ta construction avec la mienne!
Si tu t'en sens l'envie, pourrais-tu nous donner le raisonnement d'un professeur des Collèges pour montrer que sur ma figure le quadrilatère $amCb$ est un parallélogramme?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Je reviens sur ma dernière figure.
On ne saura sans doute jamais comment les professeurs des Ecoles s'y prennent pour montrer que le quadrilatère $amCb$ est un parallélogramme, peut-être parce qu'au Collège on a une vision plutôt euclidienne du parallélogramme.
Quant à nous, nous savons que l'application $AB\longmapsto AD; a\mapsto d$ est affine comme composée des projections affines:
$AB\longmapsto BC; a\mapsto b$, $BC\longmapsto CD; b\mapsto c$ et $CD\longmapsto AD; c\mapsto d$.
Les petits malins pourraient remplacer les deux dernières projections par la symétrie centrale de centre $O$: $BC\mapsto AD; b\mapsto d$.
Le lieu du point $m$ est donc le graphe de cette correspondance affine et ce graphe est la parallèle à $\delta$ passant par $C$.
En effet puisque le quadrilatère $aAdm$ est un parallélogramme (par définition), on a: $\overrightarrow{Ad}=\overrightarrow{am}$
D'autre part le quadrilatère $AdCb$ est aussi un parallélogramme de centre $O$ et on a aussi $\overrightarrow{Ad}=\overrightarrow{bC}$
Résultat des courses:
$\overrightarrow{am}=\overrightarrow{bC}$ et le quadrilatère $amCb$ est bien un parallélogramme et par suite $Cm\parallel ab\parallel \delta$.
Je crois que ce qui fait défaut au Collège, c'est la notion de vecteur.
On doit pouvoir s'en tirer autrement par quelques contorsions réglementaires et programmatiques, oui mais lesquelles?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Je crois qu'on définit le parallélogramme dès la classe de Cinquième.
La figure de base suivante revient à aligner des parallélogrammes comme des dominos.
Peut-on à leur niveau montrer que $ABFE$ est aussi un parallélogramme?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Oui pappus, on peut leur montrer que ABFE est un parallélogramme. Tout simplement en utilisant la propriété suivante :
Un quadrilatère ayant 2 côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.
Oui, et non, car aucune de ces propriétés essentielles n'est démontrée, elles sont toutes admises.
Faire des mathématiques se réduit-il à faire confiance à un sage ? Non, assurément. -
Merci Ludwig
Je suppose qu'en cinquième on fait beaucoup de géométrie contemplative..
Il suffit de regarder quelques instants ma figure pour être pratiquement convaincu que le quadrilatère $ABFE$ est un parallélogramme.
La seule chose de certaine, c'est que ma figure doit être impérativement montrée aux éléves!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir à tous
Le côté $ad$ n'est pas parallèle à $\delta'$.
Si on force ce parallélisme, on obtient une correspondance entre $a$ et $d$.
Sur ma figure ci-dessous, quel est le lieu du point $m$ pour que $ad\parallel \delta'$?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Le lieu de $m$ pour que $ad\parallel\delta'$?
N'aurait-ce pas été évident via le défunt groupe des homothéties de centre $A$?
La correspondance entre $a$ et $d$ est encore affine!
Je me souviens qu'autrefois on nous serinait la configuration d'un triangle et d'une de ses médianes dans les leçons concernant le faisceau harmonique et aujourd'hui quoi? On se pose seulement la question angoissante de savoir si une médiane est intérieure ou extérieure au triangle! (voir Droites du triangle).
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
La solution est claire maintenant il suffit de prendre l'intersection des deux graphes et c'est bon, we are done!
Quand je contemple cette figure, je me souviens (des temps anciens et je pleure!) de l'époque où pour illustrer des problèmes linéaires, nous devions déterminer (dans l'espace temps galiléen) le lieu et l'instant où deux trains devaient se croiser l'un partant de Paris Gare de Lyon et l'autre partant de Lyon-Perrache ou Part-Dieu, je ne m'en souviens plus. C'est un problème un peu surréaliste aujourd'hui en cette période de grève mais en gros nous devions tracer les graphes horaires des deux trains et chercher leur intersection.
Je ne savais pas alors que j'étais condamné à perpétuité à cette malédiction ferroviaire!!
Mais maintenant se profile à l'horizon une autre question épouvantable, si épouvantable que j'en ai la chair de poule!
Vite un prozac!
On se donne le parallélogramme $ABCD$, les directions $\delta$ et $\delta'$ servant de paramètres.
Discuter le nombre des solutions!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Il s'agit de discuter dans le plan affine de l'intersection d'une droite passant par $A$ avec une autre droite passant par $C$.
On sent bien que cela va saigner!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Comment faire, c'est affreux!
On ne nous a jamais appris comment faire!
Il nous faudrait un repère pour pouvoir écrire les équations de ces deux droites.
On pourrait alors paramétrer les directions $\delta$ et $\delta'$ par leurs pentes $m$ et $m'$
Mais quel repère choisir?
C'est épouvantable!
On ne nous a jamais appris à prendre des initiatives!
Il faut que tout nous soit servi sur un plateau d'argent!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
On va travailler dans le repère $\{A,(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\}$!
Quelle astuce incroyable!
On se demande bien comment j'ai pu avoir cette idée saugrenue!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit et faites de beaux rêves
Notons $\mu$ la pente de $\delta$ et $\mu'$ celle de $\delta'$.
La pente du graphe issu de $C$ est $\mu$, donc son équation est:
$y-1=\mu(x-1)$, ouais, on se sent meilleur après avoir écrit cela!
La pente du graphe $Ap$ est l'opposé de la pente de $Aq$ qui vaut $\mu'$.
Donc son équation est: $y=-\mu'x$ . Quel pied!
On est donc amené à résoudre le système suivant:
$$\begin{cases}
y&=&\mu x+1-\mu\\
y&=&-\mu'x
\end{cases}
$$
Epuisé par cet effort surhumain, je vais au dodo!
Amicalement
[small]p[/small]appus
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