Trigonométrie

Si j'ai bien compris $R=\frac{1}{2}BC$.
Après force vilains calculs je trouve $S=\frac{\sqrt{\lambda }}{\lambda +1}R^{2}$, avec $\lambda =\frac{1}{2}(33+5\sqrt{41})$, mais j'ai pu me tromper.
Bonne journée.
Fr. Ch.

J’ai tenté sur le téléphone....

Bonjour,

J'obtiens pour l'aire:

$$\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{219}}{20}\,R^2$$

$I$ est le barycentre de $\{(A,3);(B,1);(C,1)\}$

On en déduit la formule de Rescassol puis on calcule $\sin\,\theta=\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{219}}{20}$

Oui. Lors de l’édition de la figure sous GeoGebra, j’ai eu envie de modifier pour que l’on n’ait pas cette impression, en vain :-).

De même, lorsque l’on voit que c’est quasiment « $R^2$ », on s’interroge de la même manière.

Je ne pensais pas que cela posait des difficultés.

Dans le triangle $OIC$, avec $OI=\dfrac{3}{5}\,R$, la loi des sinus donne $\sin\widehat{C}=\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$ d'où $\cos\,\widehat{C}=\dfrac{\sqrt{73}}{10}$

Puis $\sin\,\theta=\sin\,(\widehat{C}+60)=\sin\,\widehat{C}\,\cos\,60+\sin\,60\,\cos\,\widehat{C}$

et on a $\mathcal{A}=R^2\,\sin\,\theta$

Mais j'ai peut-être mal compris la question de kolotoko ...

Je Bonsoir,

Quand j'ai commencé à lire ton message, kolotoko, j'ai pensé que ta solution était "meilleure" dans la mesure où elle était accessible à des élèves de seconde ((en supposant qu'ils connaissent les lignes trigonométriques dans un triangle rectangle ?) et sans parler de $\vec{OI }=\dfrac{3}{5}\,\vec{OA}$). Mais Al Kashi et une équation du second degré m'ont fait déchanter.

Au reste, à la question:

kolotoko a écrit:

et comment guider un élève de lycée pour conduire le calcul ?

Je ne suis pas prof, mais:

pour une saine compréhension des choses, je suis persuadé qu'un préalable est la réalisation d'une figure "exacte". A ce sujet, la mienne n'est pas terrible. Il s'agit de construire le point $I$ qui est l'intersection de deux lieux:

- Le cercle de centre $O$ et de diamètre $\dfrac{3}{5}\,R$

- L'arc $OIC$ capable d'un angle de 60° interceptant la corde $[OC]$ (j'ai dessiné, à tort, le cercle complet).

Ces notions "d'arcs capables" (voire de lieux) sont totalement inconnues au lycée aujourd'hui.

Bref, il y a du boulot...

Bonjour,

Avec 30°:

Bonjour,
en suivant la méthode proposée par Lake, on obtient la formule générale que je craignais plus compliquée qu'elle n'est. $$

A = R^2\frac{\sin(\alpha) }{5} \big(3 \cos(\alpha) + \sqrt{25-9\sin^2(\alpha)}\big).

$$ Cordialement