Un problème sans preuve métrique

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

D=(u+v)*(v+w)*(w+u);     % Utilitaires
vdm=(u-v)*(v-w)*(w-u);

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

syms s t real

q=a+s*(c-a); % Q sur (AC)
r=a+t*(b-a); % R sur (AB)

qB=aB+s*(cB-aB);
rB=aB+t*(bB-aB);

% Projeté orhogonal M de I sur (QR)

[m mB]=ProjectionPointDroite(0,q,r,0,qB,rB);

m=Factor(m)

% On veut que (QR) soit tangente au cercle unitaire, donc que M soit sur ce cercle

Nul=Factor(m*mB-1)

% On trouve:

Eq=collect(u*v^2 + u^2*v - u*w^2 - u^2*w - v*w^2 + v^2*w - 2*s*u^2*v + 2*s*v*w^2 + 2*t*u^2*w - 2*t*v^2*w - s*t*u*v^2 + s*t*u^2*v + s*t*u*w^2 - s*t*u^2*w - s*t*v*w^2 + s*t*v^2*w,[s t])
Eq = -vdm*s*t - 2*v*(u^2-w^2)*s + 2*w*(u^2-v^2)*t + (u+v)*(u+w)*(v-w);

% On en déduit s en fonction de t

s = (2*w*(u^2-v^2)*t + (u+v)*(u+w)*(v-w))/(vdm*t + 2*v*(u^2-w^2))
q=a+s*(c-a);
qB=aB+s*(cB-aB);

rab=Factor((r-a)/(b-r)) % RA/RB
qac=Factor((q-a)/(c-q)) % QA/QC

% Côtés du triangle ABC

BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w));
CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u));
AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v));

% Demi-périmètre du triangle ABC

p=Factor((BC+CA+AB)/2) % p = -i*vdm/D

% Relation de JLA

Nul=Factor((p-CA)*rab+(p-AB)*qac-(p-BC)) % 0, donc c'est gagné !!