Conique des centres
Bonsoir
J'ai besoin d'un petit coup de pouce de Noël...
Le lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel est une conique qui passe par neuf points remarquables du quadrilatère complet, que j'ai redessinée sur le geogebra joint..
On trouve facilement quelle est la conique du faisceau ABCD centrée en P, point quelconque de la conique des neuf points.
Mais comment fait-on, étant donné une conique du faisceau et connaissant sa conique des neuf points, pour trouver facilement son centre ?
Merci et bonne soirée à tous et toutes.
Amateur.
PS: j'ai idée qu'on se sert de la conique du faisceau dont le 5ème point est P ?
J'ai besoin d'un petit coup de pouce de Noël...
Le lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel est une conique qui passe par neuf points remarquables du quadrilatère complet, que j'ai redessinée sur le geogebra joint..
On trouve facilement quelle est la conique du faisceau ABCD centrée en P, point quelconque de la conique des neuf points.
Mais comment fait-on, étant donné une conique du faisceau et connaissant sa conique des neuf points, pour trouver facilement son centre ?
Merci et bonne soirée à tous et toutes.
Amateur.
PS: j'ai idée qu'on se sert de la conique du faisceau dont le 5ème point est P ?
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Réponses
Il faut lire entre les lignes pour comprendre ce que tu veux dire.
Un faisceau ponctuel de coniques est en général formé par les coniques passant par quatre points distincts $A$, $B$, $C$, $D$, appelés points de base.
Je dis en général car il y a plein de cas particuliers où ce n'est plus vrai.
La véritable définition d'un faisceau est projective, (autant dire que c'est maintenant cuit d'avance).
L'ensemble des coniques du plan (projectif) est lui même un espace projectif et un faisceau de coniques est tout simplement la donnée d'une droite (projective) de cet espace projectif.
Donc le lieu des centres des coniques (affines) passant par quatre points est une conique dite des $9$ points parce qu'elle passe par neuf points de la figure facilement constructibles, à savoir les milieux des six paires obtenues en prenant les quatre points de base deux à deux, plus les trois points, sommets du triangle diagonal du faisceau: $AB\cap CD$, $AC\cap BD$, $AD\cap BC$.
L'exemple le plus simple est donné par les coniques du plan euclidien passant par les sommets d'un quadrangle orthocentrique, (chaque point du quadrangle est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres. Toutes les coniques du faisceau sont des hyperboles équilatères et la conique des centres est le défunt cercle des neuf points ou cercle d'Euler, (heureusement il nous reste encore très provisoirement le cercle trigonométrique!).
Ce que tu nous demandes, si j'ai bien compris, c'est étant donné une conique d'un faisceau de récupérer son centre, situé quelque part sur la conique des centres du faisceau.
Mais se donner une conique d'un faisceau revient à s'en donner un cinquième points $E$ différent des quatre points de base $A$, $B$, $C$, $D$.
Donc ta question est, (tu me diras si je me trompe!):
Dans le plan affine, construire le centre d'une conique donnée par cinq points distincts deux à deux: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je suis un peu familiarisé avec tout cela maintenant...
1: chercher le centre d’une conique connaissant 5 points est une chose. Je crois qu’on peut utiliser Pascal mais ce netait pas mon souci
2: j’ai les 4 points de base d’un faisceau, je sais construire le lieu des centres. Étant donné un point P de cette conique je sais trouver la conique du faisceau dont P est le centre Il suffit de chercher le symétrique de A par rapport à P. Ma question est: etant donne une conique du faisceau comment puis-je trouver son centre en utilisant directement la conique des centres.
Cordialement
Amateur
Tout le problème est de savoir comment tu te donnes cette conique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne comprends pas ta réponse. C'est du charabia!
Se donner un objet mathématique est une procédure précise.
Te donner une conique passant par quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ signifie que tu connais un renseignement supplémentaire sur cette conique qui te permet de la déterminer complètement et quoi de plus naturel que d'en choisir un cinquième point $E$.
Il y a de multiples façons de construire le centre d'une conique affine connaissant cinq de ses points.
Mais si tu tiens absolument à faire intervenir la conique des centres , tu peux procéder ainsi.
Tu choisis quatre points en laissant un cinquième de côté, que je note $X$.
Tu notes $\Gamma_X$, la conique des centres du faisceau dont les points de base sont les quatre premiers points, (autres que $X$).
Le centre de la conique passant par les cinq points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ est donc à l'intersection des cinq coniques des centres $\Gamma_A$, $\Gamma_B$, $\Gamma_C$, $\Gamma_D$, $\Gamma_E$.
Ca nous fait une belle jambe!
Serais-tu capable de faire une figure?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Quoi de plus naturel que de se demander comment utiliser un outil appelé "conique des centres" pour chercher un centre ?
Je pensais être passé à côté d'un moyen très simple, aussi simple que le moyen qui permet d'aller en sens inverse, c'est à dire de trouver la conique du faisceau dont un point donné de la conique des centres est le centre. Finalement, c'est moins simple mais très raisonnable !
Les directions que je prends vous irritent souvent et je vous suis d'autant plus reconnaissant. Je me pose des question car je" travaille" seul maintenant et que je me laisse aller à tous les questionnements qui me viennent.
Par exemple je suis resté sur ma soif quand j'ai posé des questions de béotien sur C2 et les angles de mesure imaginaire...
Bonnes fêtes de fin d'année.
Je suis heureux d'avoir pu t'aider.
Je crois que tu peux oublier les angles de mesure imaginaire, (jamais entendu parler de ces bestioles pendant toute ma longue vie), le coeur léger et t'intéresser aux autres de mesure bien réelle et tu t'apercevras que tu as encore bien, bien du boulot avant de les comprendre.
Et suis mon conseil, moins on les utilise et mieux on se porte!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Amitiés.
Laissons Amateur développer $\arccos(\imath)$ en long, en large et en travers, la question que je me poserais si je découvrais inopinément ma dernière figure serait plutôt la suivante: est-ce qu'il y a de la structure cachée dessous?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Par curiosité, j'ai refait la figure d'Amateur dans le cas où $ABCDE$ est un pentagone régulier et j'ai obtenu le résultat ci-dessous qui ne devrait pas déplaire à Jelobreuil.
Disons plutôt que j'ai laissé le logiciel refaire la figure. Je me suis contenté d'appuyer sur la touche Entrée de temps en temps!
Explication de gravures?
J'éprouve vraiment de l'admiration pour les polygones réguliers, je crois que je pourrais rester des heures à contempler une figure composée de tels polygones bien agencés ...
A chacun ses marottes, n'est-ce pas ?
Mais pour l'explication de gravure, je subodore que tu t'es simplement débrouillé, avec ton logiciel, pour que les hyperboles de ta figure précédente dégénèrent en couples de droites sécantes et l'ellipse en un cercle ... me trompè-je ?
Bien amicalement
JLB
On devient croyant quand on est sûr de rien!
Amicalement
[small]p[/small]appus
On considère le quadrilatère ABDE où BD est parallèle à AE.
La conique des centres des coniques circonscrites au quadrilatère passe par:
- le milieu de EA et de BD, ainsi que le point de rencontre de AB et ED: elle comprend la médiatrice commune de EA et BD qui passe par le centre du cercle circonscrit
- le milieu de ED etAB et le point à l'infini de l direction AE ou BD.
La conique cherchée se compose donc de deux droites orthogonales, dont une passe par le centre du cercle circonscrit et l'autre par le milieu des côtés parallèles.La figure de Pappus s'obtient pr rotation autour du centre du cercle circonscrit.
Les 5 coniques des cinq centres se coupent en O.
Le rapport de longueur entre le pentagone inscrit et le petit pentagone (voir figure de Pappus) est de cos pi/5.
Je suis déçu de ne pas avoir vu apparaître le nombre d'or....