Deux cercles, un carré

Bonjour,

Réponse A

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,
Pour un rectangle d'or, j'aboutis à une aire égale à 1/phi = (phi - 1)
JLB

Bonsoir,

J’ai résolu cela avec des équations de cercles et des soustractions dans un repère orthonormé cartésien peu astucieux.
On s’en sort quand même facilement, mine de rien.

Existe-t-il une méthode plus « géométrique » ?

Cordialement

Dom

Bonsoir, Dom, FdP,
Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore au triangle ADH en prenant pour inconnue le demi-côté du carré, et avec le rayon des cercles pour unité de longueur, on obtient
(1/2 +x)² + x² = 1
dont la racine positive est (rac7 - 1)/4, ce qui donne bien, pour l'aire du carré, le résultat annoncé par Rescassol.
Est-ce cette solution-ci qui est proposée ?
Bien cordialement
JLB

Bonsoir,
Pour le cas général d'un rectangle avec k = hauteur/largeur, la largeur étant la dimension du rectangle dans la direction parallèle à la droite des centres, autrement dit l'horizontale sur la figure de mon précédent message, on obtient
(1/2 + x)² + (kx)² = 1, soit x²(1 + k²) + x - 3/4 = 0
Le discriminant vaut 3k²+4, qui est un carré parfait dans quelques cas, par exemple pour k = 2. On obtient alors, dans ce dernier cas, x = 3/10, donc une largeur de 6/10, une hauteur de 12/10 et une aire de 72/100.
Dans le cas du rectangle d'or, avec l'égalité particulière k² = k+1, on obtient pour le discriminant la valeur (2k)², ce qui donne, pour la demi-largeur, x = (2k-1)/2(k+2), et pour l'aire du rectangle, 4.x.kx, ce qui, tous calculs faits, se réduit à 1/k = k-1.
Bonne nuit, bien cordialement
JLB

Bravo, dm974 !
Elégante, ta chasse aux angles !
Bien cordialement
JLB