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Puissance d'un point par rapport à un cercle

Envoyé par mehdisenpai2 
Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Bonjour à tous,
comment montrer MA.MB=MC.MD algébriquement SVP.
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.


Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Le forum a une section Géométrie winking smiley

En attendant que quelqu'un qui s'y connaisse donne un vrai indice, peut-être le fait qu'il y a deux triangles semblables dans cette configuration n'est pas anodin...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
J'ai déjà montré géométriquement, je cherche une méthode algébrique (en calcul).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Choisissons un repère orthonormé dont l'origine $O$ est le centre du cercle et dont l'axe des abscisses passe par $M$ et est orienté de sorte que l'abscisse $a$ de $M$ soit positive. L'équation du cercle est $x^2+y^2=r^2$ où $r$ est le rayon. Une droite qui passe par $M$ a pour représentation paramétrique de la forme $x=kt+a$, $y=lt$ avec $(k,l)\ne(0,0)$. Les coordonnées des points d'intersection de ladite droite avec le cercle se trouvent en résolvant le système \[\begin{cases}x^2+y^2=r^2\\x=kt+a\\y=lt\end{cases}\iff
\begin{cases}
(k^2+l^2)t^2+2akt+a^2-r^2=0\\x=kt+a\\y=lt.
\end{cases}\]Si $t_1$ et $t_2$ sont les solutions (supposées exister), correspondant aux points d'intersection $A_1$ et $A_2$, on veut calculer \[
MA_1\cdot MA_2=\sqrt{k^2t_1^2+l^2t_1^2}\sqrt{k^2t_2^2+l^2t_2^2}
=(k^2+l^2)t_1t_2=a^2-r^2,\]grâce aux relations coefficients-racines. Cette quantité est indépendante de la droite (i.e. de $(k,l)$) et c'est bien $MO^2-r^2$, ou encore la quantité obtenue en remplaçant $(x,y)$ par $(a,0)$ dans $x^2+y^2-r^2$.

Au passage, une condition pour que la droite coupe le cercle est : \[a^2k^2-(k^2+l^2)(a^2-r^2)\ge0.\] Si $a\le r$, toute droite coupe le cercle (en un point double lorsque $a=r$ et $k=0$). Si $a>r$, la condition revient à $\frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}}\le\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}$, où on peut interpréter le membre de gauche comme le cosinus de l'angle de la droite avec l'axe des abscisses et le membre de droite comme le cosinus des angles formés par les tangentes au cercle issues de $M$ et par l'axe des abscisses.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Merci beaucoup vraiment tu m'as aidé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Bonjour à tous
svp comment montrer algébriquement que MA.MB=MC.MD= MO2-R2.
Merci d'avance.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.


Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Bonjour.

Ecrit comme ça, c'est faux : les produits de longueurs sont positifs par nature, le dernier terme est négatif.

Cordialement
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Le centre $O$ du cercle se projette orthogonalement en $K$ sur la droite $AB$ et ce point $K$ est le milieu de $AB$.
Il en résulte avec Pythagore :
$\overline{MA}\cdot \overline{MB}=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}+\overline{KB})=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}-\overline{KA})=\overline{MK}^{2}-\overline{KA}^{2}$
$~~~~~~~~~~=(MO^{2}-OK^{2})-(OA^{2}-OK^{2})=MO^{2}-OA^{2}=OM^{2}-R^{2}$,
où $R$ est le rayon du cercle.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
avatar
Bonjour

On peut le démontrer avec les complexes.
On utilise Morley circonscrit, en plaçant l'origine du plan complexe au centre du cercle. Les affixes $a,b,c,d$ des points $A,B,C,D$ sont de même module $1$. Leurs conjugués sont donc leur inverse. On note $m$ l'affixe de $M$.
On commence par calculer $m$ et son conjugué.
Tu traduis par une équation l'alignement de $A,M, B$ puis tu procèdes de même avec l'alignement $C, M, D.$
Tu en déduis en résolvant un système l'affixe de $M$ qui est : $\dfrac{bad + bac + bdc + adc }{ba - dc }.$
Tu calcules $(MA \times MB)^2$ puis $(MC \times MD)^2$ qui valent $\dfrac{ (a-c)^2(d-a)^2(b-c)^2(b-d)^2}{ (ba - dc)^4}.$
Je te laisse conclure.
Cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Bouzar.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
avatar
De manière simple, les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD }$ interceptent le même arc $BD$, ils sont congrus.
De même, $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$. Les triangles $ADM$ et $CBM$ sont semblables, puisque deux de leurs angles sont congrus deux à deux.
Donc$\dfrac{MA}{MC}= \dfrac{MD}{MB}$.
On utilise le produit en croix pour obtenir $MA \times MB = MC \times MD$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Bouzar.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Cette méthode est fausse pour cette figure car on ne peut pas utiliser Pythagore.

[En toute occasion Pythagore (~580 av.JC) prend une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Heu ... quelle méthode est fausse ?
Si c'est celle de Chaurien (le seul à parler du théorème de Pythagore), elle n'est pas fausse. Si tu dois faire cet exercice sans utiliser ce théorème, il fallait le dire au départ.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Je crois pouvoir affirmer qie la méthode que j'ai proposée est la plus simple, la plus courte, celle qui demande le moins de prérequis, qui n'oblige pas à distinguer des cas de figure et n'utilise pas ces angles toujours périlleux.
Je n'ai pas vérifié mais il me semble que c'était celle que m'avaient inculquée mes bons maîtres aux temps très anciens où j'étais élève du Secondaire.
Les objections du questionneur sont étranges.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Faï de ben a Bertrand, te lou rendra en caguant.
Dom
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Il me semble que cette méthode est la plus courante.
Je crois qu’elle était l’objet d’une partie d’un sujet de CAPES (années 80-90 je pense) suivie de la question classique avec la tangente.

Ce sont les mesures algébriques qui permettent de ne pas distinguer les cas.
Disons que les propriétés sur les mesures algébriques sont « certainement » démontrées en distinguant les cas (je pense à quels que soient $M\in (AB)$, $\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}$).

On ne sait jamais si c’est un acquis utilisable ou pas.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
On ne peut pas utiliser Pythagore car on n'avait pas un triangle rectangle MOK (cette figure)

[En toute occasion Pythagore (~580 av.JC) prend une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.


Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Ah, tu parles du message de Bouzar ! Mais il n'utilise pas le théorème de Pythagore, et il n'y a aucune raison d'en parler sur la figure que tu as donné, alors que le fait que les triangles sont semblables est assez évidents (angles correspondants égaux). Tu ferais bien de vraiment lire les réponses. Au moins, si tu ne comprends pas, tu pourras poser une question adaptée.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Non, je parle du message de Chaurien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
Rien de faux dans le message de Chaurien. il définit bien des triangles rectangles.

Par politesse, tu devrais t'exprimer plus clairement et surtout lire sans a-priori les réponses qui te sont faites.
Dom
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
« se projette orthogonalement en K sur la droite AB »

C’est ce passage qui donne le droit d’utiliser Pythagore.
Re: Puissance d'un point par rapport à un cercle
il y a six mois
je m'excuse j'ai trouvé ma faute pardon chaurein tu as raison je m'execuse tous les participants merci pou tous
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