Puissance d'un point par rapport à un cercle

Choisissons un repère orthonormé dont l'origine $O$ est le centre du cercle et dont l'axe des abscisses passe par $M$ et est orienté de sorte que l'abscisse $a$ de $M$ soit positive. L'équation du cercle est $x^2+y^2=r^2$ où $r$ est le rayon. Une droite qui passe par $M$ a pour représentation paramétrique de la forme $x=kt+a$, $y=lt$ avec $(k,l)\ne(0,0)$. Les coordonnées des points d'intersection de ladite droite avec le cercle se trouvent en résolvant le système \[\begin{cases}x^2+y^2=r^2\\x=kt+a\\y=lt\end{cases}\iff
\begin{cases}
(k^2+l^2)t^2+2akt+a^2-r^2=0\\x=kt+a\\y=lt.
\end{cases}\]Si $t_1$ et $t_2$ sont les solutions (supposées exister), correspondant aux points d'intersection $A_1$ et $A_2$, on veut calculer \[
MA_1\cdot MA_2=\sqrt{k^2t_1^2+l^2t_1^2}\sqrt{k^2t_2^2+l^2t_2^2}
=(k^2+l^2)t_1t_2=a^2-r^2,\]grâce aux relations coefficients-racines. Cette quantité est indépendante de la droite (i.e. de $(k,l)$) et c'est bien $MO^2-r^2$, ou encore la quantité obtenue en remplaçant $(x,y)$ par $(a,0)$ dans $x^2+y^2-r^2$.

Au passage, une condition pour que la droite coupe le cercle est : \[a^2k^2-(k^2+l^2)(a^2-r^2)\ge0.\] Si $a\le r$, toute droite coupe le cercle (en un point double lorsque $a=r$ et $k=0$). Si $a>r$, la condition revient à $\frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}}\le\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}$, où on peut interpréter le membre de gauche comme le cosinus de l'angle de la droite avec l'axe des abscisses et le membre de droite comme le cosinus des angles formés par les tangentes au cercle issues de $M$ et par l'axe des abscisses.

Le centre $O$ du cercle se projette orthogonalement en $K$ sur la droite $AB$ et ce point $K$ est le milieu de $AB$.
Il en résulte avec Pythagore :
$\overline{MA}\cdot \overline{MB}=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}+\overline{KB})=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}-\overline{KA})=\overline{MK}^{2}-\overline{KA}^{2}$
$~~~~~~~~~~=(MO^{2}-OK^{2})-(OA^{2}-OK^{2})=MO^{2}-OA^{2}=OM^{2}-R^{2}$,
où $R$ est le rayon du cercle.

De manière simple, les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD }$ interceptent le même arc $BD$, ils sont congrus.
De même, $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$. Les triangles $ADM$ et $CBM$ sont semblables, puisque deux de leurs angles sont congrus deux à deux.
Donc$\dfrac{MA}{MC}= \dfrac{MD}{MB}$.
On utilise le produit en croix pour obtenir $MA \times MB = MC \times MD$.

Heu ... quelle méthode est fausse ?
Si c'est celle de Chaurien (le seul à parler du théorème de Pythagore), elle n'est pas fausse. Si tu dois faire cet exercice sans utiliser ce théorème, il fallait le dire au départ.

Il me semble que cette méthode est la plus courante.
Je crois qu’elle était l’objet d’une partie d’un sujet de CAPES (années 80-90 je pense) suivie de la question classique avec la tangente.

Ce sont les mesures algébriques qui permettent de ne pas distinguer les cas.
Disons que les propriétés sur les mesures algébriques sont « certainement » démontrées en distinguant les cas (je pense à quels que soient $M\in (AB)$, $\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}$).

On ne sait jamais si c’est un acquis utilisable ou pas.

Ah, tu parles du message de Bouzar ! Mais il n'utilise pas le théorème de Pythagore, et il n'y a aucune raison d'en parler sur la figure que tu as donné, alors que le fait que les triangles sont semblables est assez évidents (angles correspondants égaux). Tu ferais bien de vraiment lire les réponses. Au moins, si tu ne comprends pas, tu pourras poser une question adaptée.

Rien de faux dans le message de Chaurien. il définit bien des triangles rectangles.

Par politesse, tu devrais t'exprimer plus clairement et surtout lire sans a-priori les réponses qui te sont faites.

Je vois que mehdisenpai2 a trouvé une bonne poire pour faire son exercice à sa place.