Puissance d'un point par rapport à un cercle
dans Géométrie
Bonjour à tous,
comment montrer MA.MB=MC.MD algébriquement SVP.
Merci d'avance.
comment montrer MA.MB=MC.MD algébriquement SVP.
Merci d'avance.
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Réponses
En attendant que quelqu'un qui s'y connaisse donne un vrai indice, peut-être le fait qu'il y a deux triangles semblables dans cette configuration n'est pas anodin...
\begin{cases}
(k^2+l^2)t^2+2akt+a^2-r^2=0\\x=kt+a\\y=lt.
\end{cases}\]Si $t_1$ et $t_2$ sont les solutions (supposées exister), correspondant aux points d'intersection $A_1$ et $A_2$, on veut calculer \[
MA_1\cdot MA_2=\sqrt{k^2t_1^2+l^2t_1^2}\sqrt{k^2t_2^2+l^2t_2^2}
=(k^2+l^2)t_1t_2=a^2-r^2,\]grâce aux relations coefficients-racines. Cette quantité est indépendante de la droite (i.e. de $(k,l)$) et c'est bien $MO^2-r^2$, ou encore la quantité obtenue en remplaçant $(x,y)$ par $(a,0)$ dans $x^2+y^2-r^2$.
Au passage, une condition pour que la droite coupe le cercle est : \[a^2k^2-(k^2+l^2)(a^2-r^2)\ge0.\] Si $a\le r$, toute droite coupe le cercle (en un point double lorsque $a=r$ et $k=0$). Si $a>r$, la condition revient à $\frac{k}{\sqrt{k^2+l^2}}\le\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}$, où on peut interpréter le membre de gauche comme le cosinus de l'angle de la droite avec l'axe des abscisses et le membre de droite comme le cosinus des angles formés par les tangentes au cercle issues de $M$ et par l'axe des abscisses.
svp comment montrer algébriquement que MA.MB=MC.MD= MO2-R2.
Merci d'avance.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
Ecrit comme ça, c'est faux : les produits de longueurs sont positifs par nature, le dernier terme est négatif.
Cordialement
Il en résulte avec Pythagore :
$\overline{MA}\cdot \overline{MB}=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}+\overline{KB})=(\overline{MK}+\overline{KA})(\overline{MK}-\overline{KA})=\overline{MK}^{2}-\overline{KA}^{2}$
$~~~~~~~~~~=(MO^{2}-OK^{2})-(OA^{2}-OK^{2})=MO^{2}-OA^{2}=OM^{2}-R^{2}$,
où $R$ est le rayon du cercle.
On peut le démontrer avec les complexes.
On utilise Morley circonscrit, en plaçant l'origine du plan complexe au centre du cercle. Les affixes $a,b,c,d$ des points $A,B,C,D$ sont de même module $1$. Leurs conjugués sont donc leur inverse. On note $m$ l'affixe de $M$.
On commence par calculer $m$ et son conjugué.
Tu traduis par une équation l'alignement de $A,M, B$ puis tu procèdes de même avec l'alignement $C, M, D.$
Tu en déduis en résolvant un système l'affixe de $M$ qui est : $\dfrac{bad + bac + bdc + adc }{ba - dc }.$
Tu calcules $(MA \times MB)^2$ puis $(MC \times MD)^2$ qui valent $\dfrac{ (a-c)^2(d-a)^2(b-c)^2(b-d)^2}{ (ba - dc)^4}.$
Je te laisse conclure.
Cordialement
De même, $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$. Les triangles $ADM$ et $CBM$ sont semblables, puisque deux de leurs angles sont congrus deux à deux.
Donc$\dfrac{MA}{MC}= \dfrac{MD}{MB}$.
On utilise le produit en croix pour obtenir $MA \times MB = MC \times MD$.
[En toute occasion Pythagore (~580 av.JC) prend une majuscule. AD]
Si c'est celle de Chaurien (le seul à parler du théorème de Pythagore), elle n'est pas fausse. Si tu dois faire cet exercice sans utiliser ce théorème, il fallait le dire au départ.
Je n'ai pas vérifié mais il me semble que c'était celle que m'avaient inculquée mes bons maîtres aux temps très anciens où j'étais élève du Secondaire.
Les objections du questionneur sont étranges.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[small]Faï de ben a Bertrand, te lou rendra en caguant[/small].
Je crois qu’elle était l’objet d’une partie d’un sujet de CAPES (années 80-90 je pense) suivie de la question classique avec la tangente.
Ce sont les mesures algébriques qui permettent de ne pas distinguer les cas.
Disons que les propriétés sur les mesures algébriques sont « certainement » démontrées en distinguant les cas (je pense à quels que soient $M\in (AB)$, $\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}$).
On ne sait jamais si c’est un acquis utilisable ou pas.
[En toute occasion Pythagore (~580 av.JC) prend une majuscule. AD]
Par politesse, tu devrais t'exprimer plus clairement et surtout lire sans a-priori les réponses qui te sont faites.
C’est ce passage qui donne le droit d’utiliser Pythagore.