Quatre cercles concourants
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle A-isocèle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. (P) un cercle passant par A et O
4. E, F les seconds points d’intersection de (P) resp. avec (AB), (AC)
5. (E) le cercle de centre E passant par B
6. (F) le cercle de centre F passant par C.
Question : (P), (E), (F) et (O) sont concourants.
(j'ai perdu le fil pour insérer la figure)...désolé
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle A-isocèle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. (P) un cercle passant par A et O
4. E, F les seconds points d’intersection de (P) resp. avec (AB), (AC)
5. (E) le cercle de centre E passant par B
6. (F) le cercle de centre F passant par C.
Question : (P), (E), (F) et (O) sont concourants.
(j'ai perdu le fil pour insérer la figure)...désolé
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
-
Mon cher Jean-Louis
Voici ta figure.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je viens de retrouver ma machine impeccablement réparée et reboustée, qui plus est! -
pourquoi isocèle ?
-
Bonjour,
la généralisation est possible...c'est juste pour commencer...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonsoir à tous
Effectivement, cela marche tout aussi bien avec un triangle $ABC$ quelconque!
Je vois des similitudes directes un peu partout et une petite chasse aux angles!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
C'est une simple utilisation du fait que "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit".
Pour éviter d'envisager plusieurs cas, utilisons des angles orientés de droite.
$ABC$ est supposé quelconque et le cercle $ABC$ recoupe le cercle $\left( P\right) $ en $D$.
Puisque $\left( ED,EA\right) =\left( OD,OA\right) =2\left( BD,BE\right) $, on a $\left( DE,DB\right) =\left( ED,EA\right) +\left( BE,BD\right) =\left( BD,BE\right) $ et $EB=ED$.
De même $FC=FD$.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour,
un éclaircissement : (F) recoupe (O) en D'...votre approche prouve-t-elle que D' et D sont confondus?
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour Jean-Louis
Il suffit de reprendre ce que j'ai fait avec $C$ et $F$ à la place de $B$ et $E$. C'est pour cela que dire "De même $FC=FD$" me semblait suffisant.
Cordialement. Poulbot
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Bonjour!
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