1 triangle et 3 couples de perpendiculaires

jelobreuil · January 2020

Bonsoir à tous,
Soit un triangle ABC et trois couples de droites perpendiculaires aux côtés du triangle. Ces six droites se coupent deux à deux en six points d'intersection.
Dans un premier essai, j'ai tracé les perpendiculaires qui coupent les côtés aux points 1/4 et 3/4 de chacun de ceux-ci.
Je constate alors :
- que les six points d'intersection sont cocycliques,
- que leur cercle a pour centre le centre du cercle circonscrit à ABC,
- que les six points se trouvent sur les diamètres de ce cercle qui sont portés par les droites passant par les sommets du triangle ...
Merci d'expliquer ces broutilles !
Bien cordialement
JLB 94896

Math Coss · January 2020

Le triangle $PRT$ semble être l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-1/2$.
Le triangle $QSU$ semble être l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $1/2$.
Si tel est le cas, cela doit être facile à montrer et cela doit expliquer le reste (la cocyclicité puisque les six points sont sur l'image du cercle circonscrit par les homothéties de centre $O$ et de rapport $\pm1/2$, etc.).

jelobreuil · January 2020

Merci Math Coss,
C'est effectivement un cadre auquel j'avais pensé en voyant l'homothétie évidente entre le cercle de ces six points et le cercle circonscrit à ABC, mais je n'avais pas vu les homothéties, moins évidentes, entre les triangles.
Bien cordialement
JLB

pldx1 · January 2020

Bonjour

On paramétrise par des turns, comme d'habitude, $z_A=\alpha$, etc. Et l'on note $D=d*B+(1-d)*C$, etc. Alors les six points sont co-coniques, tandis que cette conique est un cercle lorsque: \[
\left( d+e \right) \left( \beta-\gamma \right) + \left( f+g \right) \left( \gamma-\alpha \right) + \left( h+j \right) \left(
\alpha-\beta \right)
\]

Cordialement, Pierre.

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