Similitude indirecte

amateur · January 2020

Bonjour
Je recherche un coup de pouce pour retrouver la construction GÉOMETRIQUE des éléments d'une similitude indirecte, dans le plan euclidien.

Ce que je sais :
-1 une similitude indirecte est le produit d'une similitude directe par une réflexion (symétrie axiale) par rapport à un axe ;
-2 la similitude directe est le produit d'une homothétie et d'une rotation et peut toujours se réduire au produit d'une homothétie et d'une rotation de mêmes centres ;
-3 on peut réduire une similitude indirecte au produit d'une similitude directe de centre O (O,k,t) et d'une réflexion par un axe d qui passe par O : encore faut-il y arriver !!!
-4 on obtient le même résultat avec une similitude directe de centre O, de rapport -k et un axe perpendiculaire en O à d.

On se donne ABC et A'B'C' dont les côtés sont proportionnels et les angles opposés.
Le centre O est le point commun au trois cercles qui divisent AA', BB' et CC' dans le rapport k, que l'on connaît par A'C'/AC (ou autre).

Alors là je bloque : comment puis-je affirmer que ces trois cercles ont un point commun et ensuite comment trouver la direction de l'axe ?
Merci de votre aide
Amateur

PS Lebossé traite du cas sans rotation. 94910

amateur · January 2020

En fait, le choix de la rotation ou de l'axe est libre ; on peut choisir l'un des deux car ils sont liés par 2(d,A'C')=(A'C',AC) - (A2C2,A1C1).
Une fois qu'on a O, on peut choisir un axe, faire une réflexion de A'B'C' qui donne A₂B₂C₂ et on sait trouver la rotation qui amène les côtés de A₂B₂C₂ sur les directions des côtés de ABC (similitude directe).

Il été [reste ?] donc la question : comment puis-je affirmer a priori que les trois cercles qui divisent AA', BB' et CC' ont un point commun ???

pappus · January 2020

Bonjour Amateur
Il n'y a pas besoin de parler de triangles, ce qui complique inutilement la situation, (sais-tu seulement ce que sont des angles opposés?) mais seulement de segments $AB$ et $A'B'$.
Il existe une unique similitude directe $f_+$ telle que: $f_+(A)=A'$ et $f_+(B)=B'$ et une unique similitude indirecte $f_-$ telle que:
$f_-(A)=A'$ et $f_-(A)=B'$.
Le seul problème est de les construire c'est à dire de donner leurs éléments de réduction.
Commence déjà par le cas des isométries, i.e: $AB=A'B'$, on verra le cas général ensuite!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai parlé de ces défuntes constructions des dizaines et des dizaines de fois dans le passé ici même!

amateur · January 2020

J'ai bien lu le fil d'il y a onze ans (je crois) sur les smilitudes directes, mais je n'ai pas vu la construction.
Pour répondre à ta question, je crois savoir ce que sont des angles orientés opposés dans un plan. Concernant la construction du cas isométrique de la similitude indirecte, je sais construire l'axe de réflexion (unique) et le glissement nécessaires.