Une figure amusante

Merci pour tes bons voeux. Voici quelques rappels des précédentes discussions.

1. Dans le contexte 3D, un point est une colonne de quatre nombres, traitée projectivement (c'est à dire à un multiplicateur près... le nombre $0$ n'étant pas un multiplicateur acceptable).
   
   $\,$
2. Définition: quatre points $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}$ sont coplanaires lorsque leur déterminant est nul.
   
   $\,$
3. Première factorisation universelle du déterminant. On spécifie le point $M_{4}$. $
   \def\pla#1{\mathfrak{P}_{#1}}
   \def\wedt{\bigwedge_{3}}
   
   $Le déterminant devient une forme linéaire agissant sur le dernier point. Cela s'écrit: \[ \det\left(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}\right)=\pla{123}\cdot M_{4} \] Evidemment, $\pla{123}$ est la ligne des cofacteurs de $M_{4}$ (c'est une ligne, parce que le lecteur n'aura pas été suffisamment stupide pour disposer ces cofacteurs en colonne... et devoir les transposer ensuite). On note cela $\wedt$ par analogie avec le $\wedge$ utilisé dans le plan pour calculer la droite passant par deux points.
   
   $\,$
4. Deuxième factorisation universelle du déterminant. On spécifie les points $M_{1}$et $M_{4}$. Le déterminant devient une forme bilinéaire agissant sur les points $M_{1}$et $M_{4}.$ $
   \def\pluck#1#2{\left(#1\underset{6}{\wedge}#2\right)}
   \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}
   
   
   $Cela s'écrit: \[ \det\left(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}\right)=\tra{M_{1}\cdot\Delta_{23}\cdot M_{4}} \] Evidemment, la matrice $\Delta_{23}$ est anti-symétrique et de déterminant nul. On note ce calcul $\Delta_{23}=\pluck{M_{2}}{M_{3}}$ ... cela se lit pluck $M_{2}M_{3}$ ... pour se rappeler que cette matrice met en oeuvre six coordonnées. On remarque la formule $\pla{123}=\tra{M_{1}}\cdot\Delta_{23}$.
   
   $\,$
5. Troisième factorisation universelle du déterminant. On s'intéresse au déterminant de quatre plans. La méthode pour trouver le point commun à 3 plans est identique à celle mise en oeuvre pour le plan commun à 3 points (à transposition près). $
   \def\dual{\operatorname{dual}}
   \def\where{\qquad\mathrm{where}\;}
   \def\tpluck#1#2{\left(#1\tra{\underset{6}{\wedge}}#2\right)}
   \def\prodscal#1#2{\left\langle #1\mid#2\right\rangle }
   \def\trace#1{\operatorname{trace}\left(#1\right)}
   
   
   
   
   $Par contre, utiliser $\pluck{\pla{123}}{\pla{234}}$ donne une "droite planique" destinée à être utilisée avec des plans, et ne donne pas la "droite ponctuelle" $\Delta_{23}$ destinée à être utilisée avec des points. Faisant les calculs, on obtient: \[\color{blue}{ \pluck{\pla{123}}{\pla{234}}\simeq\left[
   \begin{array}{cccc} 0 & B_{z} & -B_{y} & E_{x}\\ -B_{z} & 0 & B_{x} & E_{y}\\ B_{y} & -B_{x} & 0 & E_{z}\\ -E_{x} & -E_{y} & -E_{z} & 0 \end{array}\right]\where\left[
   \begin{array}{cccc} 0 & E_{z} & -E_{y} & B_{x}\\ -E_{z} & 0 & E_{x} & B_{y}\\ E_{y} & -E_{x} & 0 & B_{z}\\ -B_{x} & -B_{y} & -B_{z} & 0 \end{array}\right]\doteq\Delta_{23}} \] Cela s'appelle la dualité (de Klein). Nous notons $\tpluck{}{}$ ...i.e. thé-pluck... l'opérateur fournissant la droite ponctuelle intersection de deux plans.
   
   $\,$
6. Pour une matrice générale, définie par $\mathcal{M}=\left[\overrightarrow{E},\overleftarrow{B}\right]$, on remarque que \[ \prodscal{\mathcal{M}}{\dual\mathcal{M}}\doteq\trace{\mathcal{M}\cdot\dual\mathcal{M}}=-4\,E_{x}B_{x}-4\,B_{y}E_{y}-4\,B_{z}E_{z} \] alors que $\det\mathcal{M}=\det\dual\mathcal{M}=\left(E_{x}B_{x}+B_{y}E_{y}+B_{z}E_{z}\right)^{2}$. Formulation pontifiante: la dualité de Klein laisse invariante la quadrique de Klein (et hop! une bouteille à la santé du Professeur Klein).
   
   $\,$
7. (Règle du Saint Tire-Bouchon, version "sciences industrielles"). Dieu a traversé la rue. Et depuis, il possède une Rolex transparente. Lorsqu'il pose sa montre sur la table, cela définit "le sens des aiguilles de sa montre". Lorsque Dieu retourne sa montre sur sa table, "le sens des aiguilles de sa montre" en est inversé. Et alors chacun des petits angelots qui est affecté à chacun des vecteurs polaires se réveille, maugrée, et change le sens du vecteur, pour qu'il reste en accord avec la Sainte Rolex. Pour faciliter la tâche des mainteneurs d'angelots, on met une flèche à droite sur les vecteurs normaux, et une flèche à gauche sur les vecteurs louches.
   
   $\,$
8. Avec ces notations, nous avons: \[ \begin{array}{crc} \text{droite par deux points} & \pluck{\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{X}\\ x \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{Y}\\ y \end{array}\right)}= & \left[\begin{array}{c} y\overrightarrow{X}-x\overrightarrow{Y}\\ \overrightarrow{X}\times\overrightarrow{Y} \end{array}\right]\\ \\ \hline \\ \text{plan par une droite et un point} & \tra{\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{X}\\ x \end{array}\right)}\cdot\left[\begin{array}{c} \overrightarrow{E}\\ \overleftarrow{B} \end{array}\right]= & \tra{\left(\begin{array}{c} -x\,\overleftarrow{B}-\overrightarrow{X}\times\overrightarrow{E}\\ \overleftarrow{B}\cdot\overrightarrow{V} \end{array}\right)}\\ \hline \\ \\ \text{droites incidentes}\left[\overleftarrow{B},\overrightarrow{E}\right]\text{ et }\left[\overleftarrow{C},\overrightarrow{F}\right] & X= & \left(\begin{array}{c} \overleftarrow{B}\times\overleftarrow{C}\\ \overleftarrow{C}\cdot\overrightarrow{E} \end{array}\right)\\ \text{assuming }\overleftarrow{C}\cdot\overrightarrow{E}+\overleftarrow{B}\cdot\overrightarrow{F}=0 & \pla{}= & \tra{\left(\begin{array}{c} \overrightarrow{E}\times\overrightarrow{F}\\ \overleftarrow{B}\cdot\overrightarrow{F} \end{array}\right)} \end{array} \] Ces formules sont "encore plus vraies" lorsque le plan de l'infini est $x_{4}=0$.
   
   
   

Cordialement, Pierre.

Edit: plus de détails sur la "notation électrique", cf messages suivants.

(suite)

Vérifions ce qui a été raconté dans le message initial. On pose \[ A,B,A',B',C,C'\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ t_{1} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2}\\ t_{2} \end{array}\right] \] $

\def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}
\def\dual{\operatorname{dual}}
\def\wedt{\bigwedge_{3}}
\def\pluck#1#2{\left(#1\underset{6}{\wedge}#2\right)}
\def\tpluck#1#2{\left(#1\tra{\underset{6}{\wedge}}#2\right)}


$On en déduit que \begin{eqnarray*} ABC & \doteq & \wedt\left(A,B,C\right)\simeq\left[0,0,t_{1},-z_{1}\right]\\ A'B'C' & \doteq & \wedt\left(A,B,C\right)\simeq\left[y_{2},-x_{2},0,0\right]\\ AB & \doteq & \pluck AB\simeq\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]\\ \Omega & \doteq & \dual\left(AB\right)\cdot\tra{A'B'C'}\simeq x_{2}:y_{2}:0:0 \end{eqnarray*}

La droite $Dc$ n'est autre que la droite $AB$ puisque $\Omega\in AB$. Ce qui n'empêche pas de le vérifier: $\Omega AB'\simeq[0,0,1,0]$, $\Omega BA'\simeq[0,0,0,1]$ conduisant à \[ Dc\left(\Omega\right)\doteq\tpluck{\Omega AB'}{\Omega BA'}\simeq x_{2}y_{2}\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \]

Par définition, les droites $Da$ et $Db$ sont dans le plan $\Omega BC'=\Omega AC'=ABC'$. Ce qui n'empêche pas de vérifier que ces trois droites sont liées. On a $Da,Db\simeq$ \begin{eqnarray*} Da & = & x_{2}\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & t_{2}\,y_{2}\,z_{1} & -z_{2}\,z_{1}\,y_{2}\\ 0 & 0 & -x_{2}\,t_{2}\,z_{1} & z_{2}\,x_{2}\,z_{1}\\ -t_{2}\,y_{2}\,z_{1} & x_{2}\,t_{2}\,z_{1} & 0 & z_{2}\left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right)\\ z_{2}\,z_{1}\,y_{2} & -z_{2}\,x_{2}\,z_{1} & z_{2}\left(x_{2}\,y_{1}-x_{1}\,y_{2}\right) & 0 \end{array}\right]\\ Db & = & y_{2}\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -t_{1}\,t_{2}\,y_{2} & t_{1}\,y_{2}\,z_{2}\\ 0 & 0 & t_{1}\,t_{2}\,x_{2} & -t_{1}\,x_{2}\,z_{2}\\ t_{1}\,t_{2}\,y_{2} & -t_{1}\,t_{2}\,x_{2} & 0 & t_{2}\left(x_{2}\,y_{1}-x_{1}\,y_{2}\right)\\ -t_{1}\,y_{2}\,z_{2} & t_{1}\,x_{2}\,z_{2} & t_{2}\left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right) & 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*} et on voit que les trois droites sont liées par les coefficients: \[ \lambda_{a}:\lambda_{b}:\lambda_{c}=t_{1}\,y_{2}\,:\,x_{2}\,z_{1}\,:\,\left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right)\left(t_{1}\,z_{2}-t_{2}\,z_{1}\right) \] Rem: les matrices ont été données "tombées du calcul", sans aucune réduction.

On procède de même avec les droites $Da',Db',Dc'$ relatives à $\Omega'$: \begin{eqnarray*} Da' & = & z_{1}\left[\begin{array}{cccc} 0 & x_{1}\left(t_{2}\,z_{1}-t_{1}\,z_{2}\right) & t_{1}\,x_{2}\,y_{1} & -x_{2}\,y_{1}\,z_{1}\\ x_{1}\,\left(t_{1}\,z_{2}-t_{2}\,z_{1}\right) & 0 & -t_{1}\,x_{1}\,x_{2} & x_{1}\,x_{2}\,z_{1}\\ -t_{1}\,x_{2}\,y_{1} & t_{1}\,x_{1}\,x_{2} & 0 & 0\\ x_{2}\,y_{1}\,z_{1} & -x_{1}\,x_{2}\,z_{1} & 0 & 0 \end{array}\right]\\ Db' & = & t_{1}\left[\begin{array}{cccc} 0 & y_{1}\left(t_{1}\,z_{2}-t_{2}\,z_{1}\right) & -t_{1}\,y_{1}\,y_{2} & y_{2}\,y_{1}\,z_{1}\\ y_{1}\left(t_{2}\,z_{1}-t_{1}\,z_{2}\right) & 0 & t_{1}\,x_{1}\,y_{2} & -x_{1}\,z_{1}\,y_{2}\\ t_{1}\,y_{1}\,y_{2} & -t_{1}\,x_{1}\,y_{2} & 0 & 0\\ -y_{2}\,y_{1}\,z_{1} & x_{1}\,z_{1}\,y_{2} & 0 & 0 \end{array}\right]\\ Dc' & = & z_{1}t_{1}\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*}
A nouveau, ces matrices sont données "tombées du calcul". Et on constate qu'elles aussi sont liées par les coefficients $\lambda_{j}$.

Passons alors à $O=u\Omega+v\Omega'$. Par linéarité, les droites $D_{A},D_{B},D_{c}$ vont s'exprimer par des expressions en $u^{2},uv,v^{2}$. Les expressions en $u^{2},v^{2}$ seront automatiquement liées par les $\lambda_{j}$. Il suffit donc de vérifier que les expressions en $uv$ sont également liées par les $\lambda_{j}$. Si on aime les calculs, ce n'est pas très long. On peut aussi remarquer que l'une des droites $BC,CA$ coupe le rectiligne à distance finie, fournissant un troisième point $O$ pour lequel les droites $D_{A},D_{B},D_{c}$ sont liées (il suffit de changer de repère). Cela force la décision.

Cordialement, Pierre

Edit: en fait, il n'y a pas besoin de choisir habilement tel ou tel multiplicateur: ils tombent du calcul, il suffit de ne pas simplifier à tort.

Bonjour,

@pappus. Pour la notation électrique, c'était fait exprès. Mais mal fait. J'ai corrigé les notations pour que le vecteur polaire soit $B$ et pas $E$.

Cordialement, Pierre.

OK, on regarde l'enveloppe. Mais (manque d'inspiration ?) ce n'est pas très simple. Cette surface est certes réglée... mais de degré 4 (cela ne factorise pas).

Que voit l'oeuil ?


Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Pappus a suggéré de ne plus utiliser le "prime" dans le nom des points (cela entre en conflit avec les notations usuelles en géométrie descriptive). Et il a suggéré d'utiliser l'indice 1 pour le deuxième triangle. En outre, il est commode d'avoir des noms différents pour les droites $D_{X}$ génériques et pour les droites obtenues par position spécifique du point $O$ sur son arête. Enfin, l'idée d'avoir des tours d'indices étant insupportable, on arrive aux nouvelles notations que voici: \[ \begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc} & \negthickspace\negthickspace1°\text{ triangle}\negthickspace\negthickspace & & & \negthickspace\negthickspace 2°\text{ triangle}\negthickspace\negthickspace & & & O & & & \Omega_0 & & & \Omega_{1} & & & \negthickspace\negthickspace\text{vue}\negthickspace\negthickspace\\ \hline A & B & C & A' & B' & C' & Da & Db & Dc & Da & Db & Dc & Da' & Db' & Dc' & z_{A} & z_{A'} & z_{U}\\ A_{0} & B_{0} & C_{0} & A_{1} & B_{1} & C_{1} & D_{A} & D_{B} & D_{C} & Da_{0} & Db_{0} & Dc_{0} & Da_{1} & Db_{1} & Dc_{1} & zA_{0} & zA_{1} & zA_{2} \end{array} \]

Suivons la deuxième suggestion de pappus et regardons l'enveloppe de la droite $
\def\hyp#1{\mathcal{H}_{#1}}
\def\ptv{~;~}
$$D_{C}$. Rappelons que cette droite a été définie par $D_{C}=OA_{0}B_{1}\cap OA_{1}B_{0}$. Cette droite coupe les plans $A_{0}B_{0}A_{1}$ et $A_{0}B_{0}B_{1}$ aux points $0:u\,y_{2}:v\,z_{1}:0\ptv u\,x_{2}:0:0:v\,t_{1}$. Et donc elle se paramètre en \[ \left(\begin{array}{c} \left(1-k\right)ux_{2}\\ kuy_{2}\\ kvz_{1}\\ \left(1-k\right)vt_{1} \end{array}\right)\text{ dont le lieu est }\hyp C\doteq\lambda_{B}\,Y\,T-\lambda_{A}\,X\,Z \] Cette quadrique passe par $A_{0},B_{0},A_{1},B_{1}$ et contient les droites $Dc_{0}=A_{0}B_{0}$ et $Dc_{1}=A_{1}B_{1}$ (ce que l'on savait déjà). Mais aussi les droites $A_{0}B_{1}$ et $A_{1}B_{0}$. Par conséquent la droite $D_{C}$ s'appuie (en $W_{0}$) sur $A_{0}B_{1}$ et (en $W_{1}$) sur $B_{0}A_{1}$.

On calcule de même les enveloppes $\hyp A$ et $\hyp B$ des droites $D_{A}\text{ et }D_{B}$. L'expression de $\hyp A$ ne se simplifie vraiment que si l'on utilise $B_{0},C_{0},B_{1},C_{1}$ comme famille génératrice de l'espace (etc.). On trouve alors \begin{eqnarray*} \hyp A & \underset{B_{0}C_{0}B_{1}C_{1}}{\simeq} & \lambda_{C}\,Y\,T-\lambda_{B}\,X\,Z\\ \hyp B & \underset{C_{0}A_{0}C_{1}A_{1}}{\simeq} & \lambda_{A}\,Y\,T-\lambda_{C}\,X\,Z \end{eqnarray*} Appelons $U_{0},U_{1}$ les points d'appui de $D_{A}$ et $V_{0},V_{1}$ ceux de $D_{B}$.

Et on en revient à la question: que voit l'œil ? Si l'on ne voit pas ce que voit l'œil, il reste à le calculer. On prend $O,U_{1},W_{1},B_{1}$ comme famille génératrice, soit \[ \boxed{P^{-1}}=\left[\begin{array}{cccc} ux_{2} & x_{2}\,\left(uz_{2}-vz_{1}\right)x_{1} & 0 & 0\\ uy_{2} & x_{2}\,\left(uz_{2}-vz_{1}\right)y_{1} & uy_{2} & 0\\ vz_{1} & x_{2}\,z_{1}\,\left(uz_{2}-vz_{1}\right) & vz_{1} & 0\\ vt_{1} & t_{1}\,vx_{1}\,z_{2}-x_{2}\,vt_{1}\,z_{1}+t_{2}\,ux_{2}\,z_{1}-t_{2}\,vx_{1}\,z_{1} & 0 & 1 \end{array}\right] \]

Pour un point $M$ de l'espace, appelons $zM$ la façon dont ce point est vu depuis $O$, c'est à dire sa trace sur le plan $U_{1}W_{1}B_{1}$. On l'obtient en multipliant la colonne $M$ par $\boxed{P}$ puis en tuant la première composante. Cela nous donne les points:

\[ zA_{0},\,zB_{0},\,zC_{0}\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ vt_{1} \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} vu\\ -\left(uz_{2}-vz_{1}\right)\left(ux_{2}-vx_{1}\right)\\ vz_{1}\,\left(ux_{2}-vx_{1}\right)\left(vt_{1}-t_{2}\,u\right) \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \left(ux_{2}-vx_{1}\right)\left(t_{1}\,z_{2}-t_{2}\,z_{1}\right) \end{array}\right) \] \[ zA_{1},\,zB_{1},\,zC_{1}\simeq\left(\begin{array}{c} uy_{2}\\ \left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right)\left(uz_{2}-vz_{1}\right)\\ y_{2}\,z_{1}\,\left(u\,x_{2}-v\,x_{1}\right)\left(vt_{1}-t_{2}\,u\right) \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} uy_{2}\\ \left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right)\left(uz_{2}-vz_{1}\right)\\ \left(x_{1}\,y_{2}-x_{2}\,y_{1}\right)\left(u\,t_{2}-v\,t_{1}\right)vz_{1} \end{array}\right) \] \[ zA_{2}\doteq zU_{0}=zU_{1}\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\ptv zB_{2}\doteq zV_{0}=zV_{1}\simeq\left(\begin{array}{c} \lambda_{A}\\ \lambda_{C}\\ 0 \end{array}\right)\ptv zC_{2}\doteq zW_{0}=zW_{1}\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \]

Et alors, qu'y a-t-il donc à voir ?

Cordialement, Pierre.

Edit: killing the wild textquote(s)

@Lake: bravo et merci !

Analyse de la construction (l'arête est prise comme ligne de terre). Les numéros correspondent (plus ou moins) à l'ordre des instructions dans le fichier. Quand un renommage a eu lieu, les anciens noms sont (assez souvent) mémorisés dans la colonne de droite.

1. On installe $B_{0}$ et $B_{1}$ comme points indépendants. Puis les points $A_{0},C_{0}$ dans le plan $\Delta B_{0}$ ainsi que les points $A_{1},C_{1}$ dans le plan $\Delta B_{1}$. \[ \begin{array}{cllc|c} 3 & Line & terre & y=0 & terre\\ \hline 4 & Point & b & given & B_{0}\\ 6 & Line & vertb & Line\;through\;b\;perpendicular\;to\;terre\\ 10 & Point & b' & Point\;on\;vertb\\ 13 & Segment & rapb & Segment\;[b',\;b]\\ 15 & Point & b_{1} & given & B_{1}\\ 17 & Line & vertb1 & Line\;through\;b_{1}\;perpendicular\;to\;terre\\ 21 & Point & b{}_{1}' & Point\;on\;vertb1\\ 24 & Segment & rapb_{1} & Segment\;[b_{1}',\;b_{1}]\\ \hline 5 & Point & c & given & C_{0}\\ 7 & Line & vertc & Line\;through\;c\;perpendicular\;to\;terre\\ 8 & Line & bc & Line\;through\;b,\;c\\ 9 & Point & Tbc & Intersection\;point\;of\;terre,\;bc\\ 11 & Line & b'c' & Line\;through\;Tbc,\;b'\\ 12 & Point & c' & Intersection\;point\;of\;vertc,\;b'c'\\ 14 & Segment & rapc & Segment\;[c',\;c]\\ \hline 16 & Point & c_{1} & given & C_{1}\\ 18 & Line & vertc1 & Line\;through\;c_{1}\;perpendicular\;to\;terre\\ 19 & Line & b1c1 & Line\;through\;b_{1},\;c_{1}\\ 20 & Point & Tb1c1 & Intersection\;point\;of\;terre,\;b1c1\\ 22 & Line & b1'c1' & Line\;through\;b_{1}',\;Tb1c1\\ 23 & Point & c{}_{1}' & Intersection\;point\;of\;vertc1,\;b1'c1'\\ 25 & Segment & rapc_{1} & Segment\;[c_{1}',\;c_{1}]\\ \hline 60 & Point & a & given & A_{0}\\ 61 & Line & verta & Line\;through\;a\;perpendicular\;to\;terre\\ 62 & Line & ca & Line\;through\;c,\;a\\ 63 & Point & Tca & Intersection\;point\;of\;terre,\;ca\\ 64 & Line & c'a' & Line\;through\;c',\;Tca\\ 65 & Point & a' & Intersection\;point\;of\;verta,\;c'a'\\ 66 & Segment & rapa & Segment\;[a',\;a]\\ \hline 67 & Point & a_{1} & given & A_{1}\\ 68 & Line & verta1 & Line\;through\;a_{1}\;perpendicular\;to\;terre\\ 69 & Line & a1b1 & Line\;through\;b_{1},\;a_{1}\\ 70 & Point & Ta1b1 & Intersection\;point\;of\;terre,\;a1b1\\ 71 & Line & a1'b1' & Line\;through\;Ta1b1,\;b_{1}'\\ 72 & Point & a_{1}' & Intersection\;point\;of\;verta1,\;a1'b1'\\ 73 & Segment & rapa_{1} & Segment\;[a{}_{1}',\;a_{1}] \end{array} \]
   
2. On finit de tracer les deux triangles ajoutant 8 lignes aux 4 déjà existantes. Puis on joint les six points avec l'oeil. \[ \begin{array}{cllc|c} 26 & Line & bc1 & Line\;through\;b,\;c_{1}\\ 27 & Line & b'c1' & Line\;through\;b',\;c_{1}'\\ 28 & Line & cb1 & Line\;through\;c,\;b_{1}\\ 36 & Line & c'b1' & Line\;through\;c',\;b{}_{1}'\\ 74 & Line & ba1 & Line\;through\;b,\;a_{1}\\ 75 & Line & b'a1' & Line\;through\;b',\;a{}_{1}'\\ 76 & Line & ab1 & Line\;through\;b_{1},\;a\\ 77 & Line & a'b1' & Line\;through\;b'_{1},\;a'\\ \hline 29 & Point & O & Point\;on\;terre\\ 80 & Line & Oa & Line\;through\;O,\;a\\ 81 & Line & Oa' & Line\;through\;O,\;a'\\ 34 & Line & Ob & Line\;through\;O,\;b\\ 50 & Line & Ob' & Line\;through\;O,\;b'\\ 32 & Line & Oc & Line\;through\;O,\;c\\ 41 & Line & Oc' & Line\;through\;O,\;c'\\ 78 & Line & Oa1 & Line\;through\;O,\;a_{1}\\ 79 & Line & Oa_{1}' & Line\;through\;O,\;a_{1}'\\ 33 & Line & Ob1 & Line\;through\;O,\;b_{1}\\ 42 & Line & Ob_{1}' & Line\;through\;O,\;b{}_{1}'\\ 35 & Line & Oc1 & Line\;through\;O,\;c_{1}\\ 51 & Line & Oc_{1}' & Line\;through\;O,\;c{}_{1}' \end{array} \]
   
3. On utilise un plan auxiliaire (contrôlé par $B$) pour obtenir les points $La$ sur $D_{A}$ etc. Et comme de juste, $L_{a}$ coulisse quand $B$ change, tandis que $D_{A}$ n'en est pas affectée. \[ \begin{array}{cllcc} 30 & Point & B & Point\;on\;vertb\\ 31 & Line & auxB & Line\;through\;B\;parallel\;to\;terre\\ \hline 37 & Point & Ec & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Oc & C\\ 39 & Line & vertEc & Line\;through\;Ec\;perpendicular\;to\;terre\\ 43 & Point & Ec' & Intersection\;point\;of\;vertC,\;Oc', & E\\ 38 & Point & Eb_{1} & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Ob_{1} & D\\
   40 & Line & vertEb1 & Line\;through\;{\color\red{ Eb_1}}\;perpendicular\;to\;terre\\ 44 & Point & Eb_{1}' & Intersection\;point\;of\;vertEb1,\;Ob1' & F\\ 45 & Line & Ec'Eb1' & Line\;through\;Ec',\;Eb_{1}'\\ \hline 46 & Point & Eb & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Ob & G\\ 48 & Line & vertEb & Line\;through\;Eb\;perpendicular\;to\;terre\\ 52 & Point & Eb' & Intersection\;point\;of\;vertEb,\;Ob' & I\\ 47 & Point & Ec_{1} & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Oc_{1} & H
   \\ 49 & Line & vertEc1 & Line\;through\;{\color\red {Ec_1} }\;perpendicular\;to\;terre\\ 53 & Point & Ec_{1}' & Intersection\;point\;of\;vertEc1,\;Oc_{1}' & J\\ 54 & Line & Eb'Ec1' & Line\;through\;Eb',\;Ec_{1}'\\ \hline 55 & Point & La' & Intersection\;point\;of\;Ec'Eb'1,\;Eb'Ec1' & K\\ 56 & Line & vertLa & Line\;through\;La'\;perpendicular\;to\;terre\\ 57 & Point & La & Intersection\;point\;of\;auxB,\;vertLa\\ 58 & Line & OLa & Line\;through\;O,\;La\\ 59 & Line & OLa' & Line\;through\;O,\;La' \end{array} \]
   
4. En fait, ruse hénaurme, on utilise la ligne $auxB$ avec trois interprétations différentes, conduisant également à $D_{B}$ et $D_{C}$. \[ \begin{array}{cllcc} 82 & Point & Ea_{1} & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Oa1 & P\\ 83 & Line & vertEa1 & Line\;through\;Ea_1\;perpendicular\;to\;terre\\
   84 & Point & Ea_{1}' & Intersection\;point\;of\;Oa_{1}',\;vertEa1 & Q\\
   85 & Line & Eb'Ea1' & Line\;through\;Eb',\;Ea_{1}'\\ \hline 86 & Point & Ea & Intersection\;point\;of\;auxB,\;Oa & R\\ 87 & Line & vertEa & Line\;through\;Ea\;perpendicular\;to\;terre\\ 88 & Point & Ea' & Intersection\;point\;of\;vertEa,\;Oa' & S\\ 89 & Line & Ea'Eb1' & Line\;through\;Ea',\;Eb_{1}'\\ \hline 90 & Point & Lc' & Intersection\;point\;of\;Ea'Eb1',\;Eb'Ea1' & T\\ 91 & Line & vertLc & Line\;through\;Lc'\;perpendicular\;to\;terre\\ 92 & Point & Lc & Intersection\;point\;of\;auxB,\;vertLc & U\\ 93 & Line & OLc & Line\;through\;O,\;Lc\\ 94 & Line & OLc' & Line\;through\;O,\;Lc'\\ \hline \\ 85 & Line & Ea'Ec1' & Line\;through\;Ea',\;Ec_{1}'\\ 89 & Line & Ec'Ea1' & Line\;through\;Ec',\;Ea_{1}'\\ \hline 90 & Point & Lb' & Intersection\;point\;of\;Ea'Ec1',\;Eb'Fa1' & T\\ 91 & Line & vertLb & Line\;through\;Lc'\;perpendicular\;to\;terre\\ 92 & Point & Lb & Intersection\;point\;of\;auxB,\;vertLc & U\\ 93 & Line & OLb & Line\;through\;O,\;Lc\\ 94 & Line & OLb' & Line\;through\;O,\;Lc' \end{array} \]
   
5. Et on conclut \[ \begin{array}{llcc} 95 & Point & M & given\\ 96 & Line & auxM & Line\;through\;M\;parallel\;to\;terre\\ 97 & Point & Nc' & Intersection\;point\;of\;OLc',\;auxM\\ 99 & Line & vertNc & Line\;through\;Nc'\;perpendicular\;to\;terre\\ 101 & Point & Nc & Intersection\;point\;of\;OLc,\;vertNc\\ 98 & Point & Na' & Intersection\;point\;of\;OLa',\;auxM\\ 100 & Line & vertNa & Line\;through\;Na'\;perpendicular\;to\;terre\\ 102 & Point & Na & Intersection\;point\;of\;OLa,\;vertNa\\ 103 & Line & NaNc & Line\;through\;Nc,\;Na\\ 104 & Line & MauxNaNc & Line\;through\;O\;parallel\;to\;NaNc\\ \hline 105 & Point & Q & given\\ 106 & Line & auxQ & Line\;through\;Q\;parallel\;to\;terre\\ 107 & Point & Ra & Intersection\;point\;of\;OLa,\;auxQ\\ 108 & Point & Rc & Intersection\;point\;of\;OLc,\;auxQ\\ 109 & Line & vertRa & Line\;through\;Ra\;perpendicular\;to\;terre\\ 110 & Line & vertRc & Line\;through\;Rc\;perpendicular\;to\;terre\\ 111 & Point & Ra' & Intersection\;point\;of\;OLa',\;vertRa\\ 112 & Point & Rc' & Intersection\;point\;of\;OLc',\;vertRc\\ 113 & Line & Ra'Rc' & Line\;through\;Ra',\;Rc'\\ 114 & Line & QauxRa'Rc' & Line\;through\;O\;parallel\;to\;Ra'Rc'\\ \hline 115 & Point & Q_{1} & Point\;on\;MauxNaNc\\ 116 & Point & R_{1} & Point\;on\;QauxRa'Rc'\\ 117 & Ray & i_{4} & Ray\;through\;O,\;R_{1}\\ 118 & Ray & j_{4} & Ray\;through\;O,\;Q_{1} \end{array} \]
   
6. Orphelins \[ \begin{array}{llccc} \\
   121 & Point & O_{1} & Point\;on\;Oc\\
   131 & Function & Curve & given\\
   132 & Point & Point\;(dependent) & given\\
   133 & Polyhedron &Pyramid & given\\
   134 & Polyhedron &Prism & given\\
   135 & Polyhedron &Archimedean & given \end{array} \]
   

Cordialement, Pierre.

Edit: il y a 8 lignes au §2, parce que l'on en a déjà tracé 4, cela en fait bien 2*3*2

"De quel bois est-il fait" ?
pldx1 est animé par une fainéantise indomptable. Et donc sous-traite à un ou plusieurs ordinateurs tout ce qui peut l'être.

C'est ainsi que rename(f,terre) est directement une commande geogebra
tandis que la détection des verticales se fait par grep perpendicular agissant sur le fichier construction.
Ensuite de quoi il aurait fallu programmer un pipe vers une action itérative pour que la verticale rappelant $M$ avec $M'$ soit renommée $vertM$. Ne dit-on pas: programmez pour l'éternité ! Il y en avait une vingtaine (plus les renommages en cours de route). Cela aurait sans doute valu le coup: nobody's perfect !

Cordialement, Pierre.

Que voit l'oeil ? Le plus simple, c'est de lui demander. On part du geogebra de Lake. Puis on demande

• sa = {x(a), y(a), y(a'), 1} ; de même avec sO, sc, sa_1 ; ces points de $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}\left(\mathbb{C}^{4}\right)$ devraient être en colonnes
  
  $\,$
• pass = Invert( Transpose[ {sO, sa, sc, sa_1} ] ) ; et donc on transpose pour obtenir la collineation
  
  $\,$
• plouf = { {0, 1, 1, 1} } ; la droite de l'infini dans le plan projectif a,c,a_1
  
  $\,$
• puis le processus KKK $\mapsto$
  
  • qqKKK = pass {*} Transpose [ { {x(KKK), y(KKK), y(KKK'), 1 } } ]
    $\,$
  • QKKK = (Element [qqKKK, 2, 1], Element[qqKKK, 3, 1]) / Element(plouf * qqKKK ,1,1)
    $\,$
  • SetVisibleInView [QKKK,2,true]
    $\,$
  • SetPointSize(QKKK,2)
  
  est appliqué aux points $a,b,c,a_{1},b_{1},c_{1},La,Lb,Lc$. Evidemment, on crée un batch qui fait cela, plutôt que de faire des copier-coller-modifier qui foirent quasiment toujours.
  
  $\,$
• Il ne reste plus qu'à tracer quelques droites de contrôle, au cas où l'oeil n'en croirait pas ses yeux.

Cordialement, Pierre.

@Lake

batch:=

geopap:= proc(Qui) local msg;
  msg := convert(`
  
  Execute[{  
"qqKKK = pass * Transpose[{{x(KKK), y(KKK), y(KKK'), 1}}]",
"QKKK = (Element[qqKKK, 2, 1], Element[qqKKK, 3, 1])/Element(plouf * qqKKK  ,1,1)",
"SetVisibleInView[QKKK,2,true]",
"SetPointSize(QKKK,2)"
}]
  
  `, string);
SubstituteAll(msg, "KKK", Qui); convert(%, symbol);
end proc: 

et on exécute par:

geogeo(seq(geopap(j), j=[a,b,c,a_1,b_1,c_1,La,Lb,Lc]));

Faire ainsi est rentable à long terme ! On écrit ce genre de choses dans le langage que l'on a sous la main, et cela fabrique des lignes de code pour geogebra. On colle le tout, en une fois, dans la barre de saisie.
Il faut des majuscules aux bons endroits, par exemple SetPointSize doit être écrit exactement comme cela à l'intérieur d'un groupe Execute.

Une remarque: tu as remplacé a_1 par a-1 dans la définition de pass. Mais cela ne change rien sur le principe. On pourrait aussi choisir de faire un rabattement du barnum et en déduire une vue au flambeau. Ou bien traduire "rabattement" par "c'est le moment de s'enfuir".

Cordialement, Pierre.