Hyperbole paramétrée

Homo Topi · January 2020

Quelqu'un m'a envoyé une question par mail, je n'ai pas le sujet exact, mais ce n'est pas grave, on pourra toujours arranger les détails comme il faut.

La question est d'identifier la courbe plane donnée par $\ x(t) = \dfrac{1}{\cos(2t)}$, $\ y(t) = \dfrac{\cos(t)}{\cos(2t)}$.

J'ai rentré ça dans Wolfram Alpha et ça m'a donné une hyperbole. Ce qu'on aimerait savoir, c'est comment trouver que ce machin est une hyperbole quand on n'a pas accès à Wolfram Alpha ou ce genre d'outils, comme en condition d'examen.

Donc : comment identifier la courbe définie par ce que j'ai dit SANS savoir qu'on doit trouver que c'est une hyperbole ? Pour moi, ce n'est même pas évident que c'est une conique.

pappus · January 2020

Bonjour à tous
Il faut juste savoir un petit peu de trigonométrie du genre : $$
\cos(2t)=2\cos^2(t)-1,
$$ mais est-ce encore enseigné ?
Logiquement avec ce qui reste de géométrie dans nos programmes, la trigonométrie devrait se limiter à la formule : $$
\sin^2(t)+\cos^2(t)=1.
$$ L'hyperbole cherchée a alors pour équation : $$
x^2-2y^2+x=0.

$$ Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Au vu de cette figure, cette courbe paramétrée est-elle une hyperbole ? 95110

Homo Topi · January 2020

Une portion d'hyperbole, sinon ?

Donc en fait la méthode à retenir : tu as fait disparaître les $\cos(2t)$ pour n'avoir plus que du $t$ et pas de $2t$.

Ça donne $x(t) = \dfrac{1}{2\cos^2(t)-1}$ et $y(t) = \dfrac{\cos(t)}{2\cos^2(t)-1}$.

Du coup, si on met au carré : $x^2(t) = \dfrac{1}{[2\cos^2(t)-1]^2}$ et $y^2(t) = \dfrac{\cos^2(t)}{[2\cos^2(t)-1]^2}$

Donc $x^2(t) - 2y^2(t) = \dfrac{-[2 \cos^2(t)-1]}{[2 \cos^2(t)-1]^2} = \dfrac{-1}{2\cos^2(t)-1} = -x(t)$. Je trouve bien ton équation.

Ensuite, il faut transformer ça en l'équation "standard" (réduite ? canonique ? je ne sais plus si ça a un nom précis) d'une hyperbole. Je le ferai tout à l'heure, il est l'heure de faire à manger.

Merci en tout cas !

Homo Topi · January 2020

Je ne peux pas encore faire à manger, madame trouve que la cuisine n'est pas assez propre :-D

Terminons donc ça.

$x^2 - 2y^2 + x = 0$ ça donne $(x + 1/2)^2 - 2y^2 = 1/4$ donc $4(x + 1/2)^2 - 8y^2 = 1$.

Ça donne $\dfrac{(x+ 1/2)^2}{(1/2)^2} - \dfrac{y^2}{(2 \sqrt{2})^2} = 1$.

Donc elle devrait être centrée en $\Big( -\dfrac{1}{2} ; 0 \Big)$ et c'est bien une hyperbole. Enfin, ça dépend du domaine de $t$ que j'ai sous-entendu dans ce message, mais le "gros" du travail est fait.

Sauf si je me suis trompé en chemin.

gb · January 2020

Bonjour
Tu compliques inutilement ; de :
\begin{align*}x&=\frac{1}{\cos(2t)},&y&=\frac{\cos(t)}{\cos(2t)}
\end{align*} on déduit :
\begin{align*}\cos(2t)&=\frac{1}{x},&\cos(t)&=\frac{y}{x}
\end{align*} puis : \[
\frac{1}{x}=\cos(2t)=2\cos^2(t)-1=2\frac{y^2}{x^2}-1
\] et l'équation de l'hyperbole.

Homo Topi · January 2020

Oui, merci en tout cas !

Hyperbole paramétrée

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Bonjour!

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