Différences entre plans euclidien, cartésien

Je ne suis pas entièrement sûr de ce que je vais affirmer, mais je crois que, en gros:

- Le plan cartésien est $\R^2$, vu comme espace vectoriel sur $\R$, équipé du produit scalaire cannonique.
- un plan Euclidien est un ensemble E qui a une bijection avec le plan cartésien, et qui, par ce fait, hérite alors de la structure d'espace vectoriel, et le produit scalaire
- un plan affine est un plan Euclidien sans l'héritage du produit scalaire.

Essentiellement, le plan Euclidien n'a pas d'origine ni orientation fixe, mais possède une structure métrique, et le plan affine laisse tomber aussi la structure métrique, mais garde les notions d'espace vectoriel, alors que le plan cartésien a une origine, et une orientation des axes.

Mais il y a sans doute une façon beaucoup plus élégante de dire tout ça, et il se trouve peut-être que c'est même faux.

Le substrat reste le même : un ensemble de points assimilable à $\mathbb{R}^2$ .
Ce qui change est le groupe de transformations qui agit sur cet ensemble.
(transformation = trsf. = permutation continue des points)

Pour la géométrie métrique l'invariant principal est la distance $|ab|$ des points $a$ et $b$
Le groupe est celui des isométries. Une trsf. $f$ est une isométrie si $|f(a)f(b)|=|ab|$ pour toute paire de points $(a,b)$.

Pour la géométrie euclidienne l'invariant principal est la proportion $|ab,c| := |ac|/|bc|$
Le groupe est celui des similitudes. Une trsf. $f$ est une similitude si $|f(a)f(b),f(c)|=|ab,c|$ pour tout triple de points $(a,b,c)$.

Pour la géométrie affine l'invariant principal est le rapport de section $(ab,c)$ défini pour trois points alignés.
$(ab,c)$ est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{ac} = \lambda\overrightarrow{bc}$.
Ce concept remplace avantageusement celui des distances algébriques ou orientées.
Le groupe est celui des trsf. affines. Une trsf. $f$ est affine si $(f(a)f(b),f(c))=(ab,c)$ pour tout triple de points alignés $(a,b,c)$.

Le cercle par exemple est un objet de la géométrie euclidienne parce qu'il peut être défini en termes de proportion :
Le cercle $C$ de centre $c$ passant par $p$ est l'ensemble des points $z$ du plan solution de l'équation $|zp,c|=1$
Si $f : x\mapsto x'$ est une similitude et si $z_0\in C$ alors $1=|z_0p,c|=|z'_0p',c'|$
Donc $f(C)\subset \left(\strut C':|zp',c'|=1\right)$ On montre $f(C)\supset C'$ avec la réciproque $f^r$.

Désolé, hbx360,

mais Soland a répondu au plus bas niveau qui correspond à la question effective. Et un lycéen qui veut comprendre peut le lire, se renseigner un peu, et avoir sa réponse. Pour ma part, lycéen, j'ai rencontré cette question (pas au lycée, on ne fait pas cette distinction, dans ce que je faisais pour moi), et compris cette distinction. Et ce n'est pas une question de capes, encore moins d'agreg (même s'il vaut mieux le savoir en passant ces concours), ce sont les définitions des géométries depuis plus d'un siècle et les travaux de Félix Klein.

Après, tu rêvais peut-être d'une réponse niveau élève de seconde actuelle (aucune connaissance à avoir, aucun effort de compréhension), ça n'existe pas. C'est d'ailleurs pour cela qu'on n'a jamais fait cette distinction en secondaire (on travaille dans le plan cartésien, point barre) même quand on utilisait fortement des outils purement affines (birapport, barycentres, ..). Et on a même supprimé l'essentiel de la géométrie dans le secondaire, avec un petit retour au collège.

Cordialement.

Dans « cartésien », je n’entends pas l’idée d’angle droit, ni de produit scalaire.
C’est juste le produit cartésien (les couples de coordonnées).

Dans « euclidien », j’ai le produit scalaire en plus.

Dans « affine », j’ai du mal à différencier du « cartésien ».
Ha ! Si ! J’ai le plus la structure qui me permet d’ajouter un point à un vecteur.
« Point + Vecteur = Point ».

Rien compris au papier quadrillé ?

@hbx360
Loin de moi l'idée

de "balancer des trucs de capes ou d'agreg"
Mais ta demande ne m'a pas permis de déceler le niveau demandé.

Il n'y a pas de réponses simples à tes questions, mais je vais essayer de faire simple; c'est un challenge !

L'objet de ta curiosité est le plan, un seul et même objet, grosso modo identifiable à $\mathbb{R}^2$ quand on y introduit des coordonnées.
Parfois on lui rajoute des points, mais c'est une autre histoire.
Dans ce plan on pratique diverses géométries : métrique, euclidienne, affine etc.
NB. Ce n'est pas le plan qui est euclidien ou autre, mais la géométrie qu'on choisit d'y faire.

Les "stars" de la géométrie euclidienne sont les longueurs et les rapports de deux longueurs.
Font partie de la géométrie euclidienne les objets et les théorèmes définis ou énoncés
en termes de longueur ou de rapport de longueurs.
Par exemple les carrés, les triangles, les angles,
les cas d'égalité, la trigo, le th. de Pythagore.

On fait peu ou pas de géométrie affine au collège. Il s'agit à ce niveau essentiellement
de la géométrie que l'on pratique avec les coordonnées, aussi avec des repères obliques.
Voici un théorème qui fleure bon la géométrie affine :
Soit A, B, C trois points alignés et S un point hors de la droite AB.
Alors le rapport des aires des triangles $SAB$ et $SBC$ est celui des longueurs |AB| et |BC| .

Remarque 1 . Je ne sais pas ce qu'est un plan cartésien.
Remarque 2 . J'habite Lausanne et trouve parfois que les Français parlent un dialecte, le Dieudonnéen,
que je ne comprends parfois pas très bien.

Bonjour à tous
Moi aussi je n'ai jamais entendu parler de plan cartésien mais plutôt de repère cartésien et même de français soi-disant cartésiens.
Quant au plan, ce mot cache des réalités bien différentes:
plan projectif, plan affine, plan euclidien, plan circulaire n'ont rien à voir les uns avec les autres surtout quand on regarde les groupes projectifs, affines, euclidiens, circulaires qui préservent respectivement leurs structures.
Le plan qu'on étudie au collège et au lycée doit ressembler plus ou moins au plan euclidien mais quand tout ce qu'on apprend à son sujet se limite à ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore, il importe peu de l'affubler de quelque adjectif que ce soit.
On peut l'appeler plan ou rantanplan tout simplement!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Plus exactement « repère cartésien du plan ».
Pour moi il n’y a pas forcément de structure dessus.
Juste des coordonnées pour se repérer.

Oui [small]p[/small]appus.
Je dis que plan cartésien n’implique pas nécessairement plan affine.