Un cercle d'orthocentres

jelobreuil · January 2020

Bonsoir à tous
Soit un polygone régulier à n côtés, avec n valant au moins 5. L'ensemble des Les diagonales issues d'un seul et même sommet S partagent le polygone en n-2 triangles. Montrer que les orthocentres de tous ces triangles sont cocycliques, sur un cercle de centre S.
J'ai vérifié cela dans les cas de l'heptagone (voir figures jointes) et de l'ennéagone ...
Il y a probablement d'autres questions intéressantes ...
Bien cordialement. 95244

pappus · January 2020

Soit $\omega=\exp(\frac{2\pi\imath}n)$.
L'orthocentre du triangle de sommets $1$, $\omega^k$, $\omega^{k+1}$ a pour affixe:
$$z_k=1+\omega^k+\omega^{k+1}$$
Donc
$$\vert z_k-1\vert=\vert 1+\omega\vert$$
Et tous ces orthocentres sont situés sur un même cercle dont le centre a pour affixe $1$..
Amicalement
[small]p[/small]appus

Chaurien · January 2020

J'étais moi aussi parti sur cette idée de calculer l'affixe de cet orthocentre, sachant que les coordonnées barycentriques de l'orthocentre d'un triangle $ABC$ sont $\tan A, \tan B, \tan C$. Mais bien sûr pappus a été plus rapide.

jelobreuil · January 2020

Merci Pappus et Chaurien de cette solution analytique !
C'est donc bien un résultat général ...
Bonne soirée, bien cordialement
JLB

Un cercle d'orthocentres

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