Terminologie orthogonal / perpendiculaire

malavita · January 2020

Bonsoir,
quelqu'un saurait-il différencier les termes "orthognal" et "perpendiculaire". Dans mon souvenir :
- deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont orthogonaux si $x \perp y,\ \forall (x,y) \in F \times G$ (jusqu'ici tout va bien),
- deux sous-espaces affines sont orthogonaux si leurs espaces directeurs le sont,
- deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont perpendiculaires si $F^\perp \subset G$,
- deux sous-espaces affines sont perpendiculaires si leurs espaces directeurs le sont.

Est ce correct ?
D'avance merci.
F.

Horza · January 2020

Bonjour

Je ne comprends pas ta définition d'espaces vectoriels perpendiculaires. Une droite serait perpendiculaire à tout plan la contenant ?

Je n'ai pas connaissance de définitions distinctes, il me semble que cela dépend des auteurs et du contexte.
Personnellement je dis que deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit intérieur est nul, et perpendiculaires quand ils forment un angle de 90°. Dans un espace euclidien muni du produit scalaire usuel c'est la même chose, mais dans l'espace de Minkowski il y a des vecteurs orthogonaux non perpendiculaires (un vecteur du genre lumière est orthogonal à lui-même).
Je ne sais pas si cette utilisation des deux termes est correcte, si quelqu'un peut apporter la lumière ...

Cordialement

gb · January 2020

Bonjour,

Pour moi, le qualificatif de perpendiculaire est propre à la géométrie affine et concerne uniquement dire des paires de sous-espaces affines sécants ; c'est pourquoi, en dimension 3, on parle de « perpendiculaire commune » à deux droites

malavita · January 2020

Bonjour,

merci de vos réponses.
@gb: du coup, avec cette définition, on ne peut pas parler de plans perpendiculaires ?

A+

F.

Dom · January 2020

Très très naïvement j’avais cru comprendre que « perpendiculaire » est un mot pour les petits.
Je l’avais adapté : « perpendiculaire », c’est « orthogonal et il y a en plus une intersection ».
Dans l’espace, par exemple, deux droites peuvent être orthogonales et non perpendiculaires.

Par extension, dans le plan, ok peut définir « segments perpendiculaires » etc.

Dans l’espace, même idée, les plans orthogonaux sont nécessairement perpendiculaires.

Je le répète, tout cela est subjectif et non sourcé.

JLT · January 2020

Pourquoi ne pas se référer à Wikipedia ?

gb · January 2020

Avec ma définition, en dimension 3, deux plans orthogonaux sont nécessairement sécants donc perpendiculaires, mais en dimension supérieure, il existe des plans othogonaux non sécants, donc non perpendiculaires.

malavita écrivait:

- deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont perpendiculaires si $F^\perp \subset G$,
- deux sous-espaces affines sont perpendiculaires si leurs espaces directeurs le sont.

Avec cette définition, deux droites ne peuvent être perpendiculaires qu'en dimension 2 et, en dimension 1, l'espace est perpendiculaire à lui-même.

GaBuZoMeu · January 2020

Je ne comprends pas très bien comment deux plans peuvent être orthogonaux en dimension 3. Ça me semble contraire à la terminologie habituelle (deux sous-espace sont orthogonaux si tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre).

malavita · January 2020

Pour résumer, en dimension $n$,

si l'on dispose de deux sous-espaces affines de dimension $a$ et $b$ avec $a+b \leq n$, on peut convenir de dire qu'ils sont perpendiculaires si leurs directions sont orthogonales et s'ils sont sécants.
Si $a+b>n$, mis à part le cas de deux plans en dimension 3, on ne peut pas définir de façon satisfaisante la notion de "perpendiculaire".
A+
F.

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