Théorème de Routh
Bonjour
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle dont l'aire vaut 1. Les points $D, E$ et $F$ sont choisis sur les côtés $BC, CA$ et $AB$ respectivement, et les droites $(AD), (BE)$ et $(CF)$ sont tracées, formant un nouveau triangle $GHI$ à l'intérieur de $ABC$. On pose $r=\dfrac{BD}{DC}, s=\dfrac{CE}{EA}, t=\dfrac{AF}{FB}.$
Déterminer l'aire du triangle $GHI.$
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle dont l'aire vaut 1. Les points $D, E$ et $F$ sont choisis sur les côtés $BC, CA$ et $AB$ respectivement, et les droites $(AD), (BE)$ et $(CF)$ sont tracées, formant un nouveau triangle $GHI$ à l'intérieur de $ABC$. On pose $r=\dfrac{BD}{DC}, s=\dfrac{CE}{EA}, t=\dfrac{AF}{FB}.$
Déterminer l'aire du triangle $GHI.$
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Réponses
Morley circonscrit dit: $\dfrac{rst+1}{(r+1)(s+1)(t+1)}$.
Cordialement,
Rescassol
Une simple référence serait la bienvenue.
D'avance merci et bonne journée ensoleillée. Le solstice passé, retour du Sol Invictus.
Fr. Ch.
Il est inutile de supposer que $GHI$ est intérieur à $ABC$.
Prenant $D,E,F$ sur les droites $BC,CA,AB$ et $r=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}},...$, on a (en barycentriques)
$D=\left( 0:1:r\right) ,E=\left( s:0:1\right) ,F=\left( 1:t:0\right) ,G=\left( rs:1:r\right) ,H=\left( s:st:1\right) ,I=\left( 1:t:tr\right) $.
En normalisant les coordonnées de $G,H,I$ et en calculant le déterminant de leurs coordonnées normalisées, il vient que l'aire algébrique de $GHI$ est $\dfrac{\left( 1-rst\right) ^{2}}{\left( 1+r+rs\right) \left( 1+s+st\right) \left( 1+t+tr\right) }$.
Amicalement. Poulbot
Je trouve en ce qui me concerne $[GHI] =\dfrac{(rst -1)^2}{(rs + r +1)(st +s + 1)(tr + t + 1)}.$
Amicalement
Bonne journée.
Fr. Ch.
@ Chaurien.
Comme tu le sais, la transformation $z\mapsto \overline z$ (= la conjugaison complexe) a la mauvaise idée de ne pas être holomorphe. L'idée introduite par Frank Morley (Inversive Geometry) est d'utiliser systématiquement des paramètres qui soient ou bien réels (et alors $\overline t = t$) ou bien unitaires (et alors $\overline \tau= 1/\tau$).
Dans le cadre de la géométrie du triangle, il est très souvent efficace de paramétrer le triangle de base par $z_A=\alpha, z_B= \beta, z_C=\gamma$ avec $\alpha, \beta,\gamma$ unitaires (ceci correspond à une homothétie-translation, qui ramène le cercle circonscrit sur le cercle unité).
On obtient alors une description algébrique des points... qui veulent bien se laisser décrire par ce processus (on vérifie qu'il s'agit des points qui dépendent algébriquement de $a^2,b^2,c^2,S$ et de rien d'autre.
Lorsque l'on veut introduire les bissectrices ou les trisectrices, il faut étendre le domaine algébrique utilisé, en posant $z_A=\alpha^2$ ou $z_A=\alpha^3$ ou même $z_A=\alpha^6$ pour une étude approfondie de la configuration des 18 triangles de Morley. Lubin fait cela dans son article de l'AMM.
Un ersatz à Lubin_second_degré est la méthode de Poncelet, qui consiste à prendre comme points de base les contacts du cercle inscrit. Il y a des formules simples pour passer de Poncelet à Lubin2 et réciproquement, ce n'est donc pas une méthode exceptionnellement différente. Il se trouve simplement que la "transformation continue" de Lemoine, qui fait passer du cercle inscrit à l'un des cercles exinscrit, et qui s'écrit $a\mapsto -a$ en barycentriques, s'écrit $\alpha\mapsto -\alpha$ dans le formalisme Lubin2... ne s'écrit pas du tout dans le formalisme de Poncelet.
Cordialement, Pierre.
Edit: D'après les témoins, Ménélaüs s'appelait Ménélaüs !
Oups ! J'ai bien calculé l'aire du triangle $DEF$ au lieu de $GHI$, je devrais lire moins vite et avec plus d'attention ....
Chaurien, je te ferai la même réponse qu'à la même question que tu as posée il y a trois ans:
Cordialement,
Rescassol
La répétition est l'une des clés de la pédagogie (:P)
un cas particulier remarquable est quand r=s=t=2 où le triangle GHI est 7 fois plus petit que ABC.
Bien cordialement.
kolotoko
https://en.wikipedia.org/wiki/Routh's_theorem
Voilà mon code:
Cordialement,
Rescassol
Clarence Lubin, A Proof of Morley's Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 2 (Feb., 1955), pp. 110-112.
Peut-être quelqu'un pourrait-il nous le communiquer.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
En outre, les calculs se limitent en gros à un déterminant $3\times 3$ à peu près évident.
Pappus doit bien avoir dans ses adages favoris quelque chose du genre : "À problème affine, solution affine" (et, évidemment, la variante projective).
Bien cordialement. Poulbot
Cet article est une démo à coups de complexes du th de Morley. Voir ci-joint.
Cordialement. Poulbot
Entre autres, je m'intéresse aux théorèmes qui dans l'histoire des mathématiques ont eu de nombreuses démonstrations : loi de réciprocité quadratique, théorème de Pythagore, théorème de d'Alembert-Gauss, théorème de Cayley-Hamilton. Je m'aperçois qu'il faut ajouter à cette liste le théorème de Morley.
Quand j'étais lycéen, j'ai appris pas mal de mathématiques dans les « Que sais-je ?», et j'avais notamment :
Robert Campbell, La trigonométrie, « Que sais-je ?» n° 692, PUF, 1956.
L'auteur y démontre le théorème de Morley au moyen de relations trigonométriques dans les triangles de la figure.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Je cite de mémoire la formule de trigonométrie sans doute utilisée par Campbell
$$\sin(3x)=4\sin(x)\sin(\frac{\pi}3+x)\sin(\frac{\pi}3-x)$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Chaurien, c'est là que l'expression de mon premier message dans ce fil $\dfrac{rst+1}{(r+1)(s+1)(t+1)}$ peut servir, sachant que Ceva dit que $rst=1$.
Cordialement,
Rescassol
pour le théorème de Morley...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Robson.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
Theorem (Morley). Given a reference triangle $ABC$, it exists exactly 18 triangles $T$ that verify (1) each vertex of $T$ is an intersection of two trisectors of triangle $ABC$ ; (2) triangle $T$ is equilateral; (3) triangle $T$ is perspective with $ABC$ and also with the in-excentral triangles.
Cordialement, Pierre.