Théorème de Routh

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonjour
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle dont l'aire vaut 1. Les points $D, E$ et $F$ sont choisis sur les côtés $BC, CA$ et $AB$ respectivement, et les droites $(AD), (BE)$ et $(CF)$ sont tracées, formant un nouveau triangle $GHI$ à l'intérieur de $ABC$. On pose $r=\dfrac{BD}{DC}, s=\dfrac{CE}{EA}, t=\dfrac{AF}{FB}.$
Déterminer l'aire du triangle $GHI.$95290

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Morley circonscrit dit: $\dfrac{rst+1}{(r+1)(s+1)(t+1)}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chaurien
    Chaurien
    Je n'ai toujours pas compris qui sont ces frères Morley,Inscrit et Circonscrit, et peut-être ne suis-je pas le seul.
    Une simple référence serait la bienvenue.
    D'avance merci et bonne journée ensoleillée. Le solstice passé, retour du Sol Invictus.
    Fr. Ch.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Bouzar
    Il est inutile de supposer que $GHI$ est intérieur à $ABC$.
    Prenant $D,E,F$ sur les droites $BC,CA,AB$ et $r=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}},...$, on a (en barycentriques)
    $D=\left( 0:1:r\right) ,E=\left( s:0:1\right) ,F=\left( 1:t:0\right) ,G=\left( rs:1:r\right) ,H=\left( s:st:1\right) ,I=\left( 1:t:tr\right) $.
    En normalisant les coordonnées de $G,H,I$ et en calculant le déterminant de leurs coordonnées normalisées, il vient que l'aire algébrique de $GHI$ est $\dfrac{\left( 1-rst\right) ^{2}}{\left( 1+r+rs\right) \left( 1+s+st\right) \left( 1+t+tr\right) }$.
    Amicalement. Poulbot
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour
    Je trouve en ce qui me concerne $[GHI] =\dfrac{(rst -1)^2}{(rs + r +1)(st +s + 1)(tr + t + 1)}.$
    Amicalement
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui moi aussi, je pars des coordonnées barycentriques de $G,H,I$ en fonction de $r,s,t$, et j'exprime l'aire algébrique de $(G,H,I)$ et fonction de celle de $(A,B,C)$. Mais comme d'habitude je ne suis pas aussi rapide que nos géo-maîtres, et je fais des erreurs de calcul ::o
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Le théorème de Céva est en faveur de la formule trouvée par poulbot et bouzar.
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour,

    @ Chaurien.

    Comme tu le sais, la transformation $z\mapsto \overline z$ (= la conjugaison complexe) a la mauvaise idée de ne pas être holomorphe. L'idée introduite par Frank Morley (Inversive Geometry) est d'utiliser systématiquement des paramètres qui soient ou bien réels (et alors $\overline t = t$) ou bien unitaires (et alors $\overline \tau= 1/\tau$).

    Dans le cadre de la géométrie du triangle, il est très souvent efficace de paramétrer le triangle de base par $z_A=\alpha, z_B= \beta, z_C=\gamma$ avec $\alpha, \beta,\gamma$ unitaires (ceci correspond à une homothétie-translation, qui ramène le cercle circonscrit sur le cercle unité).

    On obtient alors une description algébrique des points... qui veulent bien se laisser décrire par ce processus (on vérifie qu'il s'agit des points qui dépendent algébriquement de $a^2,b^2,c^2,S$ et de rien d'autre.

    Lorsque l'on veut introduire les bissectrices ou les trisectrices, il faut étendre le domaine algébrique utilisé, en posant $z_A=\alpha^2$ ou $z_A=\alpha^3$ ou même $z_A=\alpha^6$ pour une étude approfondie de la configuration des 18 triangles de Morley. Lubin fait cela dans son article de l'AMM.

    Un ersatz à Lubin_second_degré est la méthode de Poncelet, qui consiste à prendre comme points de base les contacts du cercle inscrit. Il y a des formules simples pour passer de Poncelet à Lubin2 et réciproquement, ce n'est donc pas une méthode exceptionnellement différente. Il se trouve simplement que la "transformation continue" de Lemoine, qui fait passer du cercle inscrit à l'un des cercles exinscrit, et qui s'écrit $a\mapsto -a$ en barycentriques, s'écrit $\alpha\mapsto -\alpha$ dans le formalisme Lubin2... ne s'écrit pas du tout dans le formalisme de Poncelet.

    Cordialement, Pierre.
  • pldx1
    pldx1
    Le théorème de Ménélaüs est en faveur de Rescassol... quant à la valeur de $[DEF]$.

    Edit: D'après les témoins, Ménélaüs s'appelait Ménélaüs !
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Oups ! J'ai bien calculé l'aire du triangle $DEF$ au lieu de $GHI$, je devrais lire moins vite et avec plus d'attention ....

    Chaurien, je te ferai la même réponse qu'à la même question que tu as posée il y a trois ans:
    Rescassol a écrit:
    Je copie-colle l'explication que j'ai déjà donnée maintes fois:

    Morley circonscrit consiste dans un problème de géométrie où intervient un triangle $ABC$ à faire de la géométrie analytique en nombres complexes. On choisit le centre de son cercle circonscrit $O$ comme origine et son rayon comme unité. Les affixes $a,b,c$ de $A,B,C$ ont alors pour module $1$ et leurs inverses sont leurs conjugués. On utilise aussi $s_1=a+b+c$, $s_2=ab+bc+ca$ et $s_3=abc$. Pour continuer, il faut alors disposer d'un certain nombre de formules permettant de calculer tout ce qui est classique.

    Morley inscrit consiste à faire la même chose, mais en prenant comme cercle unitaire le cercle $UVW$ inscrit dans le triangle $ABC$. On calcule alors tout en fonction de leurs affixes $u,v,w$, et $s_1,s_2,s_3$ sont maintenant les fonctions symétriques de $u,v,w$.

    Cela n'a rien à voir avec le théorème de Morley sur les triangles équilatéraux formés à partir des trissectrices.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chaurien
    Chaurien
    Merci rescassol pour cette maintes-plus-une-ième explication.
    La répétition est l'une des clés de la pédagogie (:P)
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,

    un cas particulier remarquable est quand r=s=t=2 où le triangle GHI est 7 fois plus petit que ABC.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Chaurien
    Chaurien
    Apparemment il y a plusieurs démonstrations
    https://en.wikipedia.org/wiki/Routh's_theorem
  • Chaurien
    Chaurien
    Ma préférence va à la solution par le calcul barycentrique, qui ne suppose rien sur la position des points comme dit poulbot, qui ne nécessite pas de recours à la figure pour savoir si les aires s'additionnent ou non, et qui donne l'aire algébrique.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Voilà mon code: 
    % Théorème de Routh par Bouzar le 15/01/2019

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Morley circonscrit
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

% Points D,E,F

syms r s t real 

d=(r*c+b)/(r+1); % Barycentre de B(1) et C(r)
e=(s*a+c)/(s+1);
f=(t*b+a)/(t+1);

dB=(r*cB+bB)/(r+1); % Conjugués
eB=(s*aB+cB)/(s+1);
fB=(t*bB+aB)/(t+1);

%-----------------------------------------------------------------------

% Droites (AD) et (BE)

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB);

F=s3*(r+1); % Facteur de simplification

pad=Factor(F*pad);
qad=Factor(F*qad);
rad=Factor(F*rad);

% On trouve:
 
pad = (a-b)*c + b*r*(a-c);
qad = s3*(a-b + r*(a-c));
rad = -b*r*(a^2-c^2) - c*(a^2-b^2);

% De même, pour la droite (BE):

pbe = (b-c)*a + c*s*(b-a);
qbe = s3*(b-c + s*(b-a));
rbe = -c*s*(b^2-a^2) - a*(b^2-c^2);

%-----------------------------------------------------------------------

% Points G,H,I

[g gB]=IntersectionDeuxDroites(pad,qad,rad,pbe,qbe,rbe);

g=Factor(g);
gB=Factor(gB);

% On trouve:

g = (b + c*r + a*r*s)/(r + r*s + 1);
gB = (a*c + a*b*r + b*c*r*s)/(s3*(r + r*s + 1));

% De même:

h = (c + a*s + b*s*t)/(s + s*t + 1);
hB = (b*a + b*c*s + c*a*s*t)/(s3*(s + s*t + 1));

i = (a + b*t + c*t*r)/(t + t*r + 1);
iB = (c*b + c*a*t + a*b*t*r)/(s3*(t + t*r + 1));

%-----------------------------------------------------------------------

A1=Aire(a,b,c,aB,bB,cB); % Aire du triangle ABC
A2=Aire(g,h,i,gB,hB,iB); % Aire du triangle GHI

Resultat=Factor(A2/A1)

% On trouve A2/A1=(r*s*t - 1)^2/((r + r*s + 1)*(s + s*t + 1)*(t + r*t + 1))

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chaurien
    Chaurien
    Merci à pldx1 pour ses explications. J'ai trouvé un article de Pierre L. Douillet à ce sujet, mais non le texte de l'article de Lubin, qui est probablement :
    Clarence Lubin, A Proof of Morley's Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 62, No. 2 (Feb., 1955), pp. 110-112.
    Peut-être quelqu'un pourrait-il nous le communiquer.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Chaurien
    En outre, les calculs se limitent en gros à un déterminant $3\times 3$ à peu près évident.
    Pappus doit bien avoir dans ses adages favoris quelque chose du genre : "À problème affine, solution affine" (et, évidemment, la variante projective).
    Bien cordialement. Poulbot
  • poulbot
    poulbot
    Re-bonjour Chaurien
    Cet article est une démo à coups de complexes du th de Morley. Voir ci-joint.
    Cordialement. Poulbot
  • Chaurien
    Chaurien
    Merci beaucoup, poulbot. Je vais regarder ça.
    Entre autres, je m'intéresse aux théorèmes qui dans l'histoire des mathématiques ont eu de nombreuses démonstrations : loi de réciprocité quadratique, théorème de Pythagore, théorème de d'Alembert-Gauss, théorème de Cayley-Hamilton. Je m'aperçois qu'il faut ajouter à cette liste le théorème de Morley.
    Quand j'étais lycéen, j'ai appris pas mal de mathématiques dans les « Que sais-je ?», et j'avais notamment :
    Robert Campbell, La trigonométrie, « Que sais-je ?» n° 692, PUF, 1956.
    L'auteur y démontre le théorème de Morley au moyen de relations trigonométriques dans les triangles de la figure.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ceci me rappelle un problème que j'avais posé autrefois à mes élèves de Math Sup.Soit un point $M$ intérieur à un triangle $ABC$. La droite $AM$ coupe la droite $BC$ en $D$, la droite $BM$ coupe la droite $CA$ en $E$, la droite $CM$ coupe la droite $AB$ en $F$. Trouver le point $M$ pour que le triangle (cévien) $DEF$ ait une aire maximum.La question ne s'adresse pas au club des géomètres, qui rigoleront de sa simplicité (pour eux), mais elle s'adresse au participant moyen de ce forum, qui y verra peut-être un petit intérêt.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Je cite de mémoire la formule de trigonométrie sans doute utilisée par Campbell
    $$\sin(3x)=4\sin(x)\sin(\frac{\pi}3+x)\sin(\frac{\pi}3-x)$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonne nuit,

    Chaurien, c'est là que l'expression de mon premier message dans ce fil $\dfrac{rst+1}{(r+1)(s+1)(t+1)}$ peut servir, sachant que Ceva dit que $rst=1$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour,

    pour le théorème de Morley...

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Robson.pdf

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • pldx1
    pldx1
    A peu près chaque auteur possède sa propre définition du théorème de Morley. Voici la mienne:

    Theorem (Morley). Given a reference triangle $ABC$, it exists exactly 18 triangles $T$ that verify (1) each vertex of $T$ is an intersection of two trisectors of triangle $ABC$ ; (2) triangle $T$ is equilateral; (3) triangle $T$ is perspective with $ABC$ and also with the in-excentral triangles.

    Cordialement, Pierre.
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