Antigonal

Bonsoir,

% Exo du 19/01/2019 - Antigonalité

clc, clear all, close all;

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

%c=a^2/b;

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms m mB % Un point quelconque du plan

[ma maB]=SymetriquePointDroite(m,b,c,mB,bB,cB);
[mb mbB]=SymetriquePointDroite(m,c,a,mB,cB,aB);
[mc mcB]=SymetriquePointDroite(m,a,b,mB,aB,bB);

ma=Factor(ma) % ma = b + c - b*c*mB et permutation circulaire

[oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,mb,mc,aB,mbB,mcB);
[ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(b,mc,ma,bB,mcB,maB);
[oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(c,ma,mb,cB,maB,mbB);

oa=Factor(oa)        % oa = (s2 - s3*mB)/(b + c) et permutation circulaire
Ra2=Factor(Ra2)      % Ra2 = -b*c*(a - m)*(a*mB - 1)/(a*(b + c)^2) et permutation circulaire

syms k % Un point K du cercle circonscrit

kB=1/k;

Nulk=Factor((k-oa)*(kB-oaB)-Ra2) % On veut K aussi sur le cercle (A Mb Mc)

% On trouve s2 - s1*k + k*m - s3*mB = 0, donc:

k=(s2-s3*mB)/(s1-m); % Invariant par permutation circulaire, donc sur les deux autres cercles
kB=(s1-m)/(s2-s3*mB);

%-----------------------------------------------------------------------

[om omB Rm2]=CercleTroisPoints(ma,mb,mc,maB,mbB,mcB);
[oma omaB Rma2]=CercleTroisPoints(ma,b,c,maB,bB,cB);
[omb ombB Rmb2]=CercleTroisPoints(mb,c,a,mbB,cB,aB);
[omc omcB Rmc2]=CercleTroisPoints(mc,a,b,mcB,aB,bB);

om=Factor(om)          % om = -(s1 - m - s2*mB + s3*mB^2)/(m*mB - 1)
Rm2=Factor(Rm2)        % Rm2 = -(- m^3 + s1*m^2 - s2*m + s3)*(s3*mB^3 - s2*mB^2 + s1*mB - 1)/(s3*(m*mB - 1)^2)

oma=Factor(oma)        % oa = (s2 - s3*mB)/(b + c) et permutation circulaire
Rma2=Factor(Rma2)      % Ra2 = -b*c*(a - m)*(a*mB - 1)/(a*(b + c)^2) et permutation circulaire

[pax qax rax]=AxeRadical(om,omB,Rm2,oma,omaB,Rma2); % Axe radical des cercles  (Ma Mb Mc) et (Ma B C)

syms n nB

nB=-(pax*n+rax)/qax;

Nuln=Factor((n-om)*(nB-omB)-Rm2) % Second point d'intersection de ces deux cercles

Eq=a*b + a*c + b*c - a*m - a*n - b*m - b*n - c*m - c*n + m*n + a^2 + b^2 + c^2 - a*b^2*mB - a^2*b*mB - a*c^2*mB - a^2*c*mB - b*c^2*mB - b^2*c*mB + a*b*c^2*mB^2 + a*b^2*c*mB^2 + a^2*b*c*mB^2 - 2*a*b*c*mB + a*b*m*mB + a*b*mB*n + a*c*m*mB + a*c*mB*n + b*c*m*mB + b*c*mB*n - a*b*c*m*mB^2 - a*b*c*mB^2*n;
Eq=FracSym(Eq,[a b c]);
Eq=collect(Eq,n);

% Donc:

n=(mB*s3 - m*s1 - s2 + s1^2 - m*mB^2*s3 + mB^2*s1*s3 + m*mB*s2 - mB*s1*s2)/(s3*mB^2 - s2*mB - m + s1); % l'antigonal de M
nB=Factor(-(pax*n+rax)/qax);

% n est invariant par permutation circulaire, donc sur les deux autres cercles

%-----------------------------------------------------------------------
% Le milieu de [MN] est sur le cercle d'Euler

j=Factor((m+n)/2);
jB=Factor((mB+nB)/2);

Nul=Factor((j-s1/2)*(jB-s1B/2)-1/4) % Égal à 0, donc c'est gagné !!..

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Le point $K\left(M\right)$ (première question) et le point $N\left(M\right)$ (deuxième question) vont nécessairement avoir des comportements différents. Par définition $K$ est astreint à rester sur un lieu particulier. La question principale va donc être: quels sont les $M$ qui donnent le même $K$ ? Au contraire, le point $N$ se promène dans le plan. La question principale va donc être: quels sont les points $M$ pour lesquels il se passe quelque chose de spécial ?

Prenant $
\def\ptv{~;~} \def\isog{\operatorname{isogon}}
\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\Sw{S_{\omega}}
\def\etc{,\:\mathrm{etc}}

$$ABC$ comme triangle de référence et $M\simeq p:q:r$ comme paramètres, on voit que les cercles \[ ABC\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right]\ptv AM_{b}M_{c}\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ c^{2}\left(a^{2}p+a^{2}r-b^{2}p+b^{2}r-c^{2}p-c^{2}r\right)\\ b^{2}\left(a^{2}p+a^{2}q-b^{2}p-b^{2}q-c^{2}p+c^{2}q\right)\\ \left(p+q+r\right)\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right) \end{array}\right] \] se coupent en $A$ et en un point $K$ tel que \[ \isog\left(K\right)\simeq\left[\begin{array}{c} \Sc\,r-\Sb\,q\\ \Sa\,p-\Sc\,r\\ \Sb\,q-\Sa\,p \end{array}\right] \] Comme cette expression est symétrique, le point $K$ appartient aux quatre cercles. Ensuite de quoi, il suffit de contempler la figure pour voir que $MH$ est la droite de Steiner de $K\in ABC$. Et le calcul le confirme.

Passons à la deuxième question. La transformation antigonale a déjà été passée à la moulinette sur ce forum. Il s'agit des points vérifiant les 4 définitions équivalentes (poulbot msg-1572656):

$\,$
1. angles opposés: $\left(MB,MC\right)+\left(NB,NC\right)=0\etc$
   
   $\,$
2. point commun aux 3 cercles "deux sommets et un symétrique"
   
   $\,$
3. point diamétralement opposé à M sur l'hyperbole ABCHM
   
   $\,$
4. isogon x invincircum x isogon (M)

Les propriétés à la sauce "transformation de Cremona" ont été examinées ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,744443

Au fil des discussions, une bibliographie a été indiquée:

• (pappus-746687) M.Collet et G.Gris: Le cercle d'Euler, publié chez Vuibert en 1987. Le fait que le milieu $\Omega$ de deux points jumeaux $M$ et $M'$ soit situé sur le cercle d'Euler est attribué à Van den Berg en 1882, voir page 148, paragraphe 63.
  
  $\,$
• (pldx1-1573218) \\ @Article {vyzeren92:antigonal, Author = {Van Yzeren, Jan}, Title = {Pairs of Points: {A}ntigonal, {I}sogonal, and {I}nverse}, Journal = {Mathematics Magazine}, Volume = {65}, Number = {5}, Pages = {339-347}, Year = 1992, Publisher = {Mathematical Association of America}, Month = dec, eprint = { http://www.jstor.org/stable/2691249}}
  Donnée également par Gibert et par Kimberling. Tous deux pointent aussi sur van Yzeren 1941... pour ceux qui lisent les langues étrangères.
  
  $\,$
• (pldx1-1573312). Schoute:
  http://www.numdam.org/article/BSMA_1882_2_6_1_152_1.pdf
  http://www.numdam.org/article/BSMA_1882_2_6_1_174_1.pdf avec le lexique
  transformation isogonale $\mapsto$ "transformation par droites symétriques"
  transformation par inversion $\mapsto$ "transformation par rayons vecteurs réciproques"
  transformation antigonale $\mapsto$ "transformation par cercles symétriques"
  
  $\,$
• nouveau:\\ @article{dewulf:1873, author = {Dewulf, Ed.}, title = {Sur les transformations géométriques des figures planes}, journal = {Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques}, publisher = {Gauthier-Villars}, volume = {5}, year = {1873}, pages = {206-240}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/item/BSMA_1873__5__206_1} }

Et un petit rappel pour finir: en coordonnées angulaires on a

• antigonaux $\alpha+\alpha'=\beta+\beta'=\gamma+\gamma'=0$
  $\,$
• isogonaux $\alpha+\alpha'=A,\beta+\beta'=B,\gamma+\gamma'=C$
  $\,$
• inversion dans le circonscrit: $\alpha+\alpha'=2A,\beta+\beta'=2B,\gamma+\gamma'=2C$

Cordialement, Pierre