Point de Frégier et points cycliques

amateur
amateur
dans Géométrie
Bonjour

Soit une conique C et A un de ses points.
Soit f le point de Frégier de A. Il est réel et situé dans la concavité.
Je transforme la conique par une homologie harmonique de centre A et d'axe obtenu en prenant la polaire de f et en lui faisant subir l'homothétie (A,2).
Je sais, pas depuis très longtemps c'est vrai, que j'obtiens un cercle tangent (et qu'accessoirement le centre du cercle symétrique à celui-là par rapport à A est le centre de courbure en A).
Mais ce n'est pas le problème.

"Je pense" (Pappus va me gronder) que les points cycliques sont les homologues dans l'homologie vue plus haut, des points de rencontre imaginaires de la conique et de la polaire de f, ce qui rendrait la démonstration que la figure obtenue est bien un cercle, immédiate.

Mais voilà je n'arrive pas à m'en sortir en "essayant de voir l'invisible."...
Merci de vote aide.
Amateur.

PS: si Pappus le souhaite, je peux faire une figure .

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir

    > PS: si Pappus le souhaite, je peux faire une figure .

    C'est toujours mieux.

    Cordialement,

    Rescassol
  • amateur
    amateur
    ok, je mets dans quelques minutes le dessin du "cas réel"
  • amateur
    amateur
    Le problème se pose ainsi, sachant que je ne veux pas connaître le résultat du petit raisonnement du dessin.

    Je prends un point réel A sur une conique et son point de Frégier F; Je réalise l'homologie harmonique de centre A et d'axe obtenu en prenant l'homothétique (A,2) de la polaire du point de Frégier.

    Montrer que la figue obtenue contient les points cycliques (sans calcul).

    Merci
  • amateur
    amateur
    Voici la solution mais elle est "osée":

    Soit A un point fixe sur une conique. A tout point N de la conique, on associe le point P de la conique tel que l'angle NAP soit droit. Les points N et P sont homologues par une involution de rayons doubles AI et AJ (I et J points cycliques). La corde NP passe donc par un point fixe (th. de Frégier).

    Soit I' et J' les points de rencontre entre AI et AJ et la conique. La tangente en I' (et J') à la conique est une droite qui joint l'extrémité de deux sécantes orthogonales confondues (AI est orthogonal à AI), Le point de Frégier est donc sur les tangentes en I' et J' donc I' et J' sont bien sur la polaire du point de Frégier de A.

    Au final, c'est sûrement juste, mais comment justifier ce raisonnement qui utilise une sorte de continuité sur la conique, comme si deux cordes issues de A pouvaient se confondre tout en restant perpendiculaires....C'st un saut dans l'imaginaire qu'il faut sans doute mieux justifier....

    Merci de votre avis.
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