Identité n°2

Bouzar · January 2020

Bonjour,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle.
On note respectivement $d_a, d_b$ et $d_c$ les distances de $A, B, C$ au centre du cercle inscrit $I.$
Montrer que : $\dfrac{d_a^2 }{bc } + \dfrac{d_b^2 }{ ac} +\dfrac{d_c^2 }{ ab} \in \mathbb{N}$ et en donner sa valeur.

kolotoko · January 2020

Bonjour,

cela vaut 1.

Formule 76 du fameux recueil des 273 formules de Vuibert.

Bien cordialement.
kolotoko

Bouzar · January 2020

Bonjour kolotoko,
C'est exact. Quid de la démonstration !
Amicalement

Rescassol · January 2020

Bonjour,

Morley inscrit dit:

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

da2=Factor(a*aB) % Carré de la distance IA
db2=Factor(b*bB);
dc2=Factor(c*cB);

BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w)); % Longueur BC
CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u));
AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v));

UN=Factor(da2/(CA*AB)+db2/(AB*BC)+dc2/(BC*CA)) % On trouve UN=1, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol

Bouzar · January 2020

Bonsoir Rescassol et merci de ta contribution.

kolotoko · January 2020

Bonjour,

il suffit de montrer que IA² = bc - 2abc/(a+b+c) et les autres formules donnant IB² et IC² .
Le calcul final est immédiat.
Bien cordialement.
kolotoko

Chaurien · January 2020

La démonstration, ou du moins une démonstration, est aussi dans le recueil susdit.

Bouzar · January 2020

Bonsoir,
Voici une solution avec les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$
$I\simeq\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right].$
$\dfrac{d_a^2 }{ bc} = -\dfrac{a - b - c}{a + b + c}$
$\dfrac{d_b^2 }{ac } = \dfrac{a - b + c}{a + b + c}$
$\dfrac{d_c^2 }{ab } = \dfrac{a + b - c}{a + b + c}$
Par suite, on a:
$\dfrac{d_a^2 }{ bc} +\dfrac{d_b^2 }{ac }+\dfrac{d_c^2 }{ab }= -\dfrac{a - b - c}{a + b + c}+\dfrac{a - b + c}{a + b + c}+ \dfrac{a + b - c}{a + b + c}=\dfrac{a + b + c}{a + b + c}=1.$

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