Identité n°1

Bouzar · January 2020

Bonjour
Je vous propose ce résultat.
Montrer que dans tout triangle $ABC$, on a : $$
\sqrt{\dfrac{\sin(A) }{\sin(B)\sin(C) }} + \sqrt{\dfrac{\sin(B) }{\sin(C)\sin(A) }} +\sqrt{\dfrac{\sin(C) }{\sin(A)\sin(B) }}=\sqrt{ \dfrac{ 2R}{ r} \big(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}\big).$$

poulbot · January 2020

Bonjour Bouzar
$s$ et $S$ sont le demi-périmètre et l'aire de $ABC$.
Puisque $a=2R\sin A,...$ et $S=sr=\dfrac{1}{2}bc\sin A$, on a $\sin A+\sin B+\sin C=\dfrac{s}{R}$ et $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{sr}{2R^{2}}$ et les $2$ membres de ton égalité sont égaux à $\sqrt{\dfrac{2s}{r}}$.
Amicalement. Poulbot

Bouzar · January 2020

Bonsoir poulbot et merci de ta contribution.

Identité n°1

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Bonjour!

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