Triangles vérifiant une relation

Bouzar · January 2020

Bonjour,
Voici un nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle dont l'aire est $\mathcal{A}$ et le rayon du cercle inscrit est $r.$
Caractériser tous les triangles pour lesquels $\dfrac{ab }{a+b } + \dfrac{bc }{b+c } +\dfrac{ca }{c+a } =\dfrac{\mathcal{A}}{r}.$

pldx1 · January 2020

On a $2S=r \left(a+b+c\right)$. L'équation est donc \[-{a}^{3}b-{a}^{3}c+2\,{a}^{2}bc-a{b}^{3}+2\,a{b}^{2}c+2\,ab{c}^{2}-a{
c}^{3}-{b}^{3}c-b{c}^{3} =-{{\it s_1}}^{2}{\it s_2}+3\,{\it s_1}\,{\it s_3} +2\,{{\it s_2}}^{2}=0\]

On fixe la métrique en posant $s_1=a+b+c=1$. Alors l'équation en $a,b,c$ est :

\[{X}^{3}-{X}^{2}+X{\it s_2}+ \dfrac{2\,{{\it s_2}}^{2}-{\it s_2}}{3}\] On calcule le discriminant et on conclut: équilateral ou rien.

Cordialement, Pierre.

Bouzar · January 2020

Bonjour Pierre et merci pour cette solution efficace.
Je posterais une solution dans la journée.
Cordialement

Bouzar · January 2020

Voici une solution.
Pour tout triangle $\mathcal{A}=p.r$ où $r$ est le rayon du cercle inscrit et $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.
On a :
$\dfrac{ab }{a+b } + \dfrac{bc }{b+c } +\dfrac{ca }{c+a } =\dfrac{\mathcal{A}}{r} \iff \dfrac{ab }{a+b } + \dfrac{bc }{b+c } +\dfrac{ca }{c+a } =\dfrac{p.r}{r} \iff \dfrac{ab }{a+b } + \dfrac{bc }{b+c } +\dfrac{ca }{c+a } =\dfrac{a+b+c}{2}$

$ \iff \dfrac{2ab }{a+b } + \dfrac{2bc }{b+c } +\dfrac{2ca }{c+a } =a+b+c.$

Or $\dfrac{2ab }{a+b } \leq \dfrac{a+b}{2 }$

et $\dfrac{2bc }{b+c } \leq \dfrac{b+c}{2 }$

et $\dfrac{2ca }{a+c } \leq \dfrac{a+c}{2 }.$

Par suite, on a :
$ a+b+c = \dfrac{2ab }{a+b } + \dfrac{2bc }{b+c } +\dfrac{2ca }{c+a } \leq \dfrac{a+b}{2 } +\dfrac{b+c}{2 } + \dfrac{a+c}{2 } $

$\iff a+b+c \leq a+b+c.$

L' égalité se produit lorsque $a = b = c$. En conclusion, les triangles pour lesquels $\dfrac{ab }{a+b } + \dfrac{bc }{b+c } +\dfrac{ca }{c+a } =\dfrac{\mathcal{A}}{r}$ sont les triangles équilatéraux.

Triangles vérifiant une relation

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