Axe radical et centre du cercle circonscrit
Bonjour,
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $H$ son orthocentre, $O$ son centre du cercle circonscrit, $(I)$ son cercle inscrit. Soit $K$ l'orthocentre du triangle $IBC$.
$AI$ et $HK$ sont sécantes en $L$.
Soit $P$ le centre du cercle circonscrit au triangle $IKL$.
Montrer que l'axe radical du cercle $(I)$ avec le cercle circonscrit au triangle $IKP$ contient $O$.
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $H$ son orthocentre, $O$ son centre du cercle circonscrit, $(I)$ son cercle inscrit. Soit $K$ l'orthocentre du triangle $IBC$.
$AI$ et $HK$ sont sécantes en $L$.
Soit $P$ le centre du cercle circonscrit au triangle $IKL$.
Montrer que l'axe radical du cercle $(I)$ avec le cercle circonscrit au triangle $IKP$ contient $O$.
Réponses
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Bonjour.
On passe en barycentriques, on mouline et ça marche.
Mais il faudrait sans doute trouver mieux !
Cordialement, Pierre. -
Bonjour,
En Morley inscrit, il ne doit pas y avoir de problèmes, mais je n'ai pas le temps pour l'instant.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
Voilà:% Bouzar - 06/02/2020 - Axe radical et centre du cercle circonscrit clc, clear all, close all; % On part du triangle de contact UVW syms u v w; syms uB vB wB; % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3); % Orthocentre du triangle ABC hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B); o=2*s1*s3/(s1*s2-s3); % Centre du cercle circonscrit au triangle ABC oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B); [k kB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB); % Orthocentre du triangle IBC k=Factor(k) % On trouve k = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w)) [phk qhk rhk]=DroiteDeuxPoints(h,k,hB,kB); % Droite (HK) % Point d'intersection des droites (AI) et (HK) [l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,a,0,phk,qhk,rhk); l=Factor(l) % On trouve l = (u^2 - v*w)/u [p pB]=CentreCercleCirconscrit(0,k,l,0,kB,lB); % Centre du cercle circonscrit au triangle IKL p=Factor(p) % On trouve p = u*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w)) [oikp oikpB Rikp2]=CercleTroisPoints(0,k,p,0,kB,pB) % Cercle circonscrit au triangle IKP oikp=Factor(oikp) Rikp2=Factor(Rikp2) % On trouve: % oikp = -u*(u*v + u*w - v*w + u^2)^2/(2*(u + v)*(u + w)*(- u^2 + v*w)) % Rikp2 = -(u*v + u*w - v*w + u^2)^2*(u*v + u*w + v*w - u^2)^2/(4*(u + v)^2*(u + w)^2*(v*w - u^2)^2) % Axe radical du cercle inscrit dans ABC et du cercle circonscrit au triangle IKP [pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,oikp,oikpB,Rikp2); % On vérifie que O est sur cet axe Nul=Factor(pax*o+qax*oB+rax) % Égal à 0, donc c'est gagné.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
j'ai finalement trouvé une preuve synthétique que je vais rédiger...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour Bouzar,
quelle est l'origine, référence du problème initial ?....pour compléter ma preuve...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour et merci de vos contributions.
Il s'agît d'un problème vietnamien.
Cordialement -
Bonjour,
> Il s'agît d'un problème vietnamien.
Je n'appelle pas ça une référence.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour
C'est un problème qui m'a été transmis sans aucune référence.
Cordialement -
Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Axe radical et centre du cercle circonscrit.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour!
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