Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
267 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Axe radical et centre du cercle circonscrit

Envoyé par Bouzar 
Axe radical et centre du cercle circonscrit
il y a deux mois
avatar
Bonjour,
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $H$ son orthocentre, $O$ son centre du cercle circonscrit, $(I)$ son cercle inscrit. Soit $K$ l'orthocentre du triangle $IBC$.
$AI$ et $HK$ sont sécantes en $L$.
Soit $P$ le centre du cercle circonscrit au triangle $IKL$.
Montrer que l'axe radical du cercle $(I)$ avec le cercle circonscrit au triangle $IKP$ contient $O$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Bouzar.


Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
il y a deux mois
Bonjour.

On passe en barycentriques, on mouline et ça marche.
Mais il faudrait sans doute trouver mieux !

Cordialement, Pierre.
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
il y a deux mois
Bonjour,

En Morley inscrit, il ne doit pas y avoir de problèmes, mais je n'ai pas le temps pour l'instant.

Cordialement,

Rescassol
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
il y a deux mois
Bonsoir,

Voilà:
% Bouzar - 06/02/2020 - Axe radical et centre du cercle circonscrit

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3);         % Orthocentre du triangle ABC
hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);                % Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);

[k kB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB);   % Orthocentre du triangle IBC

k=Factor(k) % On trouve k = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w))

[phk qhk rhk]=DroiteDeuxPoints(h,k,hB,kB);  % Droite (HK)

% Point d'intersection des droites (AI) et (HK)

[l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,a,0,phk,qhk,rhk);

l=Factor(l) % On trouve l = (u^2 - v*w)/u

[p pB]=CentreCercleCirconscrit(0,k,l,0,kB,lB); % Centre du cercle circonscrit au triangle IKL

p=Factor(p)  % On trouve p = u*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w))

[oikp oikpB Rikp2]=CercleTroisPoints(0,k,p,0,kB,pB) % Cercle circonscrit au triangle IKP

oikp=Factor(oikp)
Rikp2=Factor(Rikp2)

% On trouve:
% oikp = -u*(u*v + u*w - v*w + u^2)^2/(2*(u + v)*(u + w)*(- u^2 + v*w))
% Rikp2 = -(u*v + u*w - v*w + u^2)^2*(u*v + u*w + v*w - u^2)^2/(4*(u + v)^2*(u + w)^2*(v*w - u^2)^2)
 
% Axe radical du cercle inscrit dans ABC et du cercle circonscrit au triangle IKP

[pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,oikp,oikpB,Rikp2); 

% On vérifie que O est sur cet axe

Nul=Factor(pax*o+qax*oB+rax) % Égal à 0, donc c'est gagné.
Cordialement,

Rescassol
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
Bonjour,

j'ai finalement trouvé une preuve synthétique que je vais rédiger...

Sincèrement
Jean-Louis
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
Bonjour Bouzar,

quelle est l'origine, référence du problème initial ?....pour compléter ma preuve...

Sincèrement
Jean-Louis
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
avatar
Bonjour et merci de vos contributions.
Il s'agît d'un problème vietnamien.
Cordialement
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
Bonjour,

> Il s'agît d'un problème vietnamien.

Je n'appelle pas ça une référence.

Cordialement,

Rescassol
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
avatar
Bonjour
C'est un problème qui m'a été transmis sans aucune référence.
Cordialement
Re: Axe radical et centre du cercle circonscrit
le mois dernier
Bonjour,

[jl.ayme.pagesperso-orange.fr]

Sincèrement
Jean-Louis
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 806, Messages: 1 377 694, Utilisateurs: 25 676.
Notre dernier utilisateur inscrit Ruriii.


Ce forum
Discussions: 8 351, Messages: 96 068.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page