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Axe radical et centre du cercle circonscrit

BouzarBouzar
dans Géométrie
Bonjour,
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $H$ son orthocentre, $O$ son centre du cercle circonscrit, $(I)$ son cercle inscrit. Soit $K$ l'orthocentre du triangle $IBC$.
$AI$ et $HK$ sont sécantes en $L$.
Soit $P$ le centre du cercle circonscrit au triangle $IKL$.
Montrer que l'axe radical du cercle $(I)$ avec le cercle circonscrit au triangle $IKP$ contient $O$.96090

Réponses

  • pldx1pldx1
    Bonjour.

    On passe en barycentriques, on mouline et ça marche.
    Mais il faudrait sans doute trouver mieux !

    Cordialement, Pierre.
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    En Morley inscrit, il ne doit pas y avoir de problèmes, mais je n'ai pas le temps pour l'instant.

    Cordialement,

    Rescassol
  • RescassolRescassol
    Bonsoir,

    Voilà: 
    % Bouzar - 06/02/2020 - Axe radical et centre du cercle circonscrit

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3);         % Orthocentre du triangle ABC
hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);                % Centre du cercle circonscrit au triangle ABC
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);

[k kB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB);   % Orthocentre du triangle IBC

k=Factor(k) % On trouve k = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w))

[phk qhk rhk]=DroiteDeuxPoints(h,k,hB,kB);  % Droite (HK)

% Point d'intersection des droites (AI) et (HK)

[l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,a,0,phk,qhk,rhk);

l=Factor(l) % On trouve l = (u^2 - v*w)/u

[p pB]=CentreCercleCirconscrit(0,k,l,0,kB,lB); % Centre du cercle circonscrit au triangle IKL

p=Factor(p)  % On trouve p = u*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w))

[oikp oikpB Rikp2]=CercleTroisPoints(0,k,p,0,kB,pB) % Cercle circonscrit au triangle IKP

oikp=Factor(oikp)
Rikp2=Factor(Rikp2)

% On trouve:
% oikp = -u*(u*v + u*w - v*w + u^2)^2/(2*(u + v)*(u + w)*(- u^2 + v*w))
% Rikp2 = -(u*v + u*w - v*w + u^2)^2*(u*v + u*w + v*w - u^2)^2/(4*(u + v)^2*(u + w)^2*(v*w - u^2)^2)
 
% Axe radical du cercle inscrit dans ABC et du cercle circonscrit au triangle IKP

[pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,oikp,oikpB,Rikp2); 

% On vérifie que O est sur cet axe

Nul=Factor(pax*o+qax*oB+rax) % Égal à 0, donc c'est gagné.
    Cordialement,

    Rescassol
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    j'ai finalement trouvé une preuve synthétique que je vais rédiger...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour Bouzar,

    quelle est l'origine, référence du problème initial ?....pour compléter ma preuve...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • BouzarBouzar
    Bonjour et merci de vos contributions.
    Il s'agît d'un problème vietnamien.
    Cordialement
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    > Il s'agît d'un problème vietnamien.

    Je n'appelle pas ça une référence.

    Cordialement,

    Rescassol
  • BouzarBouzar
    Bonjour
    C'est un problème qui m'a été transmis sans aucune référence.
    Cordialement
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Axe radical et centre du cercle circonscrit.pdf

    Sincèrement
    Jean-Louis
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