Y a-t-il une preuve "simple" ?

Le point de concours est le centre radical des trois cercles, mais tu le sais sans doute déjà.

Cette vidéo de Tadashi Tokieda ?

Cf. ce fil...

Essayons.

Soit $C_1 : eq_1=0$ , $C_2 : eq_2=0$ , $C_3 : eq_3=0$ les équations respectives
des cercles $C_i$ , le coefficient de $(x^2+y^2)$ valant 1 dans chacune.

Un point commun à $C_1$ et $C_2$ vérifie les équations $eq_1=0$ , $eq_2=0$ et,
par conséquent, l'équation $eq_1 = eq_2$ . Dans cette dernière équation les termes
de degré 2 disparaissent, c'est donc celle d'une droite, et cette droite $D_{12}$ passe
par les points communs de $C_1 \cap C_2$ .
Les deux autres droites du problème sont $D_{13} : eq_1 = eq_3$ et $D_{23} :eq_2 = eq_3$ .

Le point $D_{12} \cap D_{23}$ vérifie les équations $eq_1 = eq_2=0$ , $eq_2 = eq_3$ et,
par conséquent, l'équation $eq_1 = eq_3$ qui est celle de $D_{13}$ .

Oh là-là, enfer et damnation !! (Voir le dessin.)

Bonjour,

Les centres des cercles ont l'air alignés dans cette figure, du coup on a des droites qui ont l'air plus parallèles que concourantes ...


Cordialement, JeremyJeff

"On peut comprendre ma preuve sans connaître le concept d'axe radical"
Effectivement, mais pas au niveau collège.

Reprenons les trois mêmes cercles (turquoise, notés $C_a:eq_a=0$, $C_b:eq_b=0$, $C_c:eq_c=0$)
et normalisons leurs équations : $C_a:(x^2+y^2)+\cdots =0$
Soit $X$ un point non situé sur ces cercles et $a$, $b$, $c$ ses puissances respectives relativement à ces cercles.

Dans tout cours décent sur les cercles il est écrit que la puissance d'un point relativement à un cercle
s'obtient en remplaçant à gauche de son équation normalisée $x$ et $y$ par les coordonnées du point.

Considérons, comme aurait dit mon prof d'antan, paix à son âme, l'équation
$$
(*)\qquad C_{ab} : \frac{1}{b-a} (b\,eq_a - a\,eq_b) = (x^2+y^2)+\cdots =0
$$
(1) C'est l'équation normalisée d'un cercle
(2) qui passe par les points communs de $C_a$ et $C_b$ (leurs coordonnées annulent les deux termes de la parenthèse)
(3) et par tout point dont les puissances $\pi_a$ et $\pi_b$ relativement à $C_a$ et $C_b$ vérifient $\pi_a/\pi_b=a/b$ ,
(4) notamment par $X$ (on triture la première parenthèse de $(*)$).
Il y a deux cercles analogues : $C_{bc}$ et $C_{ca}$ .

Soit Y le second point d'intersection de $C_{ab}$ et $C_{bc}$ , qui existe (help! un blanc), et $\kappa_i$ ses puissances relativement aux $C_i$ . On a
$$
\frac{\kappa_a}{\kappa_b} =\frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \frac{\kappa_b}{\kappa_c} =\frac{b}{c}
\quad \text{qu'on multiplie :} \quad \frac{\kappa_a}{\kappa_c} =\frac{a}{c}
$$
$Y$ est donc sur $C_{ca}$ .

Bonjour,

On suppose que les 3 cercles (en noir) ne sont pas d'un même faisceau et ne contiennent pas leur centre radical. On considère alors le cycle orange orthogonal aux trois cercles. Il est orthogonal à toute combinaison linéaire des trois cercles initiaux. Et donc au cercles mauves. Prouvant que $X$ et $Y$ sont inverses l'un de l'autre par rapport au cercle orange.

Question à trois centavos: pourquoi le cercle orange est-il tracé en pointillés ?

Cordialement, Pierre.

@darbouka: on en revient à: pourquoi le cercle orange est-il tracé en pointillés ?

Bonsoir à tous
Voilà la figure demandée par Pierre.
Il semble me rappeler qu'il doit y avoir dans le Lebossé-Hémery quelques exercices qui tournent autour de cette idée.
Mais on peut aussi voir cette figure comme la projection stéréographique sur le plan de l'équateur de quelque chose qui se passe sur la Divine Sphère de Riemann que nous possédions encore, il n'y a pas si longtemps, et qui a dû définitivement disparaître dans la matière noire.
Quelle est cette chose?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Dom
Cette configuration s'explique simplement par la défunte théorie des axes radicaux.
Essayer de faire différemment ne sert à rien!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Dom
C'est tout le problème de la disparition de l'enseignement de la géométrie.
On est obligé de se raccrocher désespérément aux deux seuls axiomes qui nous restent encore, sans doute très provisoirement: l'Axiome de Thalès et l'Axiome de Pythagore.
C'est une gymnastique intellectuelle que je trouve un peu vaine!
Mieux vaut prendre acte du décès de la Géométrie dans notre République Analphabète!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Dom
A part ânonner ces deux axiomes, je ne vois pas très bien ce qu'on peut faire de plus et de toutes façons, cela n'a plus d'importance depuis longtemps!
Amicalement
[small]p[/small]appus

@pappus
Ma courte preuve n'utilise pas le concept, appelons-le R, d'axe radical.
Quand tu dis que R rend la preuve immédiate
tu oublies la théorie pas si simple qui est nécessaire
pour mettre R en place.

Si la preuve contient cette théorie, elle s'allongera considérablement.

J'ai élaboré ma preuve en prenant celle utilisant R et en essayant
d'évincer R pour obtenir une preuve plus élémentaire.

With kindest thoughts.

Bonjour.

On a une équivalence entre $x^2+y^2+ax+by+c=x^2+y^2+a'x+b'x+c'$ et $(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0$. C'est la méthode d'Al-Khwarizmi. Pour paraphraser ce bon monsieur Sully, transposition et réduction sont les deux mamelles de l'algèbre. Il reste à savoir qu'une équation du premier degré détermine une droite lorsqu'elle détermine quelque chose. Cela c'est simplement Thalès: une droite est une courbe qui va en ligne droite, c'est à dire à pente constante. Dès que l'on a appris à compter les carreaux sur du papier quadrillé, on dispose de cet outil.

Il n'est donc pas nécessaire de plonger le problème dans $\mathfrak C$, l'espace projectif des cycles. D'un autre côté, cela explique pourquoi on va imaginer des cercles imaginaires (centre visible, carré du rayon négatif): un faisceau de cycles étant une droite de $\mathfrak C$, il faut bien faire quelque chose des points de cette droite lorsqu'ils se trouvent à l'intérieur de la quadrique fondamentale. Cela donne les cercles orange pointillés. Schwerdtfeger n'est plus très loin.

Cordialement, Pierre

Bonjour, un lien http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Hauteur1.htm#cercle


que j'ai trouvé, il y a aussi une généralisation avec les axes d'ellipses...