Un alignement
dans Géométrie
Bonjour,
Inspiré par le problème posé par Bouzar…
1. ABC un triangle acutangle (lisibilité de la figure)
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. H, Ha les orthocentres de ABC, IBC
5. L le point d’intersection de (HHa) et (AI)
6. (P) le cercle circonscrit de HaLI
Question : E, F et P sont alignés.
Désolé pour la figure
Sincèrement
Jean-Louis
Inspiré par le problème posé par Bouzar…
1. ABC un triangle acutangle (lisibilité de la figure)
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. H, Ha les orthocentres de ABC, IBC
5. L le point d’intersection de (HHa) et (AI)
6. (P) le cercle circonscrit de HaLI
Question : E, F et P sont alignés.
Désolé pour la figure
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
-
Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Axe radical et centre du cercle circonscrit.pdf p. 12...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Voilà avec Morley inscrit:% Jean-Louis Ayme - 12/02/2020 - Un alignement clc, clear all, close all; % On part du triangle de contact UVW syms u v w; syms uB vB wB; % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3); % Orthocentre du triangle ABC hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B); [ha haB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB); % Orthocentre du triangle IBC ha=Factor(ha) % On trouve ha = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w)) [ph qh rh]=DroiteDeuxPoints(h,ha,hB,haB); % Droite (H H_a) [l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,ph,qh,rh); % Point d'intersection L de (AI) et (H H_a) l=Factor(l) [p pB]=CentreCercleCirconscrit(ha,l,0,haB,lB,0); % Centre du cercle H_a L I p=Factor(p) % On trouve p = u^2*(v + w)*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w)*(u^2 - v*w)) Mat=[v vB 1; w wB 1; p pB 1]; Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné: V,W,P sont alignés
On peut remarquer que le quadrilatère $IVLW$ est un parallélogramme.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir à tous,
En guise de développement de ce problème, j'ai constaté que l'axe radical des deux cercles en question, le cercle inscrit dans le triangle ABC et celui qui passe par Ha, L et I, passe, lui, par le milieu de AI ...
Mais je ne puis que le constater, et comme je pense que ce n'est pas quelque chose d'évident a priori ...
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir,
On peut rajouter ceci à mon code:% Une question de Jelobreuil le 14/02/2020 [pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,p,pB,p*pB); % axe radical du cercle inscrit et du cercle H_a L I [m mB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,pax,qax,rax); % Point d'intersection de cet axe et de (AI) m=Factor(m) % On trouve m = v*w/(v+w) Nulm=Factor(a-2*m) % Égal à 0, donc M est le milieu de [AI]
Cordialement,
Rescassol -
Merci Rescassol !
Et comme je viens juste de lire ta remarque au sujet du parallélogramme IVLW, je précise que c'est en fait un losange, puisque ses diagonales sont perpendiculaires ...
Bien cordialement
JLB -
Bonjour,
Le point $L$ n'est pas un parfait inconnu. C'est le centre inscrit du $A$-résiduel du triangle orthique ainsi que l'orthocentre du $A$-résiduel du triangle des contacts.
Cordialement, Pierre. -
Bonjour,
J'ai oublié de préciser dans mon code que $l=v+w$, ce qui est évident par la suite.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour à tous,
Sur la figure de Rescassol, on peut aussi définir le point L comme le symétrique de I par rapport au côté VW du triangle de contact ...
Bien cordialement
JLB
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Bonjour!
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