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Un alignement

Envoyé par Jean-Louis Ayme 
Un alignement
le mois dernier
Bonjour,
Inspiré par le problème posé par Bouzar…

1. ABC un triangle acutangle (lisibilité de la figure)
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. H, Ha les orthocentres de ABC, IBC
5. L le point d’intersection de (HHa) et (AI)
6. (P) le cercle circonscrit de HaLI

Question : E, F et P sont alignés.

Désolé pour la figure

Sincèrement
Jean-Louis



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Jean-Louis Ayme.
Re: Un alignement
le mois dernier
Bonjour,

[jl.ayme.pagesperso-orange.fr] p. 12...

Sincèrement
Jean-Louis
Re: Un alignement
il y a sept semaines
Bonjour,

Voilà avec Morley inscrit:
% Jean-Louis Ayme - 12/02/2020 - Un alignement

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3); % Orthocentre du triangle ABC
hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);

[ha haB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB); % Orthocentre du triangle IBC
ha=Factor(ha) % On trouve ha = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w))

[ph qh rh]=DroiteDeuxPoints(h,ha,hB,haB); % Droite (H H_a)

[l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,ph,qh,rh); % Point d'intersection L de (AI) et (H H_a)
l=Factor(l)

[p pB]=CentreCercleCirconscrit(ha,l,0,haB,lB,0);  % Centre du cercle H_a L I
p=Factor(p) % On trouve p = u^2*(v + w)*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w)*(u^2 - v*w))

Mat=[v vB 1; w wB 1; p pB 1];

Nul=Factor(det(Mat))  % Égal à 0, donc c'est gagné: V,W,P sont alignés
On peut remarquer que le quadrilatère $IVLW$ est un parallélogramme.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Rescassol.


Re: Un alignement
il y a sept semaines
Bonsoir à tous,
En guise de développement de ce problème, j'ai constaté que l'axe radical des deux cercles en question, le cercle inscrit dans le triangle ABC et celui qui passe par Ha, L et I, passe, lui, par le milieu de AI ...
Mais je ne puis que le constater, et comme je pense que ce n'est pas quelque chose d'évident a priori ...
Bien cordialement
JLB


Re: Un alignement
il y a sept semaines
Bonsoir,

On peut rajouter ceci à mon code:
% Une question de Jelobreuil le 14/02/2020

[pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,p,pB,p*pB); % axe radical du cercle inscrit et du cercle H_a L I

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,pax,qax,rax); % Point d'intersection de cet axe et de (AI)

m=Factor(m) % On trouve m = v*w/(v+w)

Nulm=Factor(a-2*m) % Égal à 0, donc M est le milieu de [AI]
Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Rescassol.
Re: Un alignement
il y a sept semaines
Merci Rescassol !
Et comme je viens juste de lire ta remarque au sujet du parallélogramme IVLW, je précise que c'est en fait un losange, puisque ses diagonales sont perpendiculaires ...
Bien cordialement
JLB
Re: Un alignement
il y a sept semaines
Bonjour,

Le point $L$ n'est pas un parfait inconnu. C'est le centre inscrit du $A$-résiduel du triangle orthique ainsi que l'orthocentre du $A$-résiduel du triangle des contacts.

Cordialement, Pierre.
Re: Un alignement
il y a sept semaines
Bonjour,

J'ai oublié de préciser dans mon code que $l=v+w$, ce qui est évident par la suite.

Cordialement,

Rescassol
Re: Un alignement
il y a cinq semaines
Bonjour à tous,
Sur la figure de Rescassol, on peut aussi définir le point L comme le symétrique de I par rapport au côté VW du triangle de contact ...
Bien cordialement
JLB
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