Un alignement

Réponses

• Jean-Louis Ayme

  February 2020

  Bonjour,
  
  http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Axe radical et centre du cercle circonscrit.pdf p. 12...
  
  Sincèrement
  Jean-Louis
• Rescassol

  February 2020

  Bonjour,
  
  Voilà avec Morley inscrit:

  % Jean-Louis Ayme - 12/02/2020 - Un alignement
  
  clc, clear all, close all;
  
  % On part du triangle de contact UVW
  
  syms u v w;
  syms uB vB wB; % Conjugués
  
  uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
  vB=1/v;
  wB=1/w;
  
  syms s1 s2 s3;
  syms s1B s2B s3B; % Conjugués
  
  s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
  s2=u*v+v*w+w*u;
  s3=u*v*w;
  
  s1B=s2/s3;         % Conjugués
  s2B=s1/s3;
  s3B=1/s3;
  
  %-----------------------------------------------------------------------
  
  a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
  b=2*w*u/(w+u);
  c=2*u*v/(u+v);
  
  aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
  bB=2*wB*uB/(wB+uB);
  cB=2*uB*vB/(uB+vB);
  
  %-----------------------------------------------------------------------
  
  h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3); % Orthocentre du triangle ABC
  hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);
  
  [ha haB]=Orthocentre(0,b,c,0,bB,cB); % Orthocentre du triangle IBC
  ha=Factor(ha) % On trouve ha = 2*u^2*(v + w)/((u + v)*(u + w))
  
  [ph qh rh]=DroiteDeuxPoints(h,ha,hB,haB); % Droite (H H_a)
  
  [l lB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,ph,qh,rh); % Point d'intersection L de (AI) et (H H_a)
  l=Factor(l)
  
  [p pB]=CentreCercleCirconscrit(ha,l,0,haB,lB,0);  % Centre du cercle H_a L I
  p=Factor(p) % On trouve p = u^2*(v + w)*(u*v + u*w - v*w + u^2)/((u + v)*(u + w)*(u^2 - v*w))
  
  Mat=[v vB 1; w wB 1; p pB 1];
  
  Nul=Factor(det(Mat))  % Égal à 0, donc c'est gagné: V,W,P sont alignés
  

  On peut remarquer que le quadrilatère $IVLW$ est un parallélogramme.
  
  Cordialement,
  
  Rescassol

  JLA110.png 43.2K
• jelobreuil

  February 2020

  Bonsoir à tous,
  En guise de développement de ce problème, j'ai constaté que l'axe radical des deux cercles en question, le cercle inscrit dans le triangle ABC et celui qui passe par Ha, L et I, passe, lui, par le milieu de AI ...
  Mais je ne puis que le constater, et comme je pense que ce n'est pas quelque chose d'évident a priori ...
  Bien cordialement
  JLB

  un alignement JLAyme développement.PNG 27.6K
• Rescassol

  February 2020

  Bonsoir,
  
  On peut rajouter ceci à mon code:

  % Une question de Jelobreuil le 14/02/2020
  
  [pax qax rax]=AxeRadical(0,0,1,p,pB,p*pB); % axe radical du cercle inscrit et du cercle H_a L I
  
  [m mB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,pax,qax,rax); % Point d'intersection de cet axe et de (AI)
  
  m=Factor(m) % On trouve m = v*w/(v+w)
  
  Nulm=Factor(a-2*m) % Égal à 0, donc M est le milieu de [AI]
  

  Cordialement,
  
  Rescassol
• jelobreuil

  February 2020

  Merci Rescassol !
  Et comme je viens juste de lire ta remarque au sujet du parallélogramme IVLW, je précise que c'est en fait un losange, puisque ses diagonales sont perpendiculaires ...
  Bien cordialement
  JLB
• pldx1

  February 2020

  Bonjour,
  
  Le point $L$ n'est pas un parfait inconnu. C'est le centre inscrit du $A$-résiduel du triangle orthique ainsi que l'orthocentre du $A$-résiduel du triangle des contacts.
  
  Cordialement, Pierre.
• Rescassol

  February 2020

  Bonjour,
  
  J'ai oublié de préciser dans mon code que $l=v+w$, ce qui est évident par la suite.
  
  Cordialement,
  
  Rescassol
• jelobreuil

  March 2020

  Bonjour à tous,
  Sur la figure de Rescassol, on peut aussi définir le point L comme le symétrique de I par rapport au côté VW du triangle de contact ...
  Bien cordialement
  JLB