Intersection sur le cercle circonscrit
Bonjour,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $(O)$ son cercle circonscrit, $I$ son centre du cercle inscrit.
Soit $(L)$ le cercle exinscrit de $ABC$ qui touche $AB$ en $M$.
$MI$ intersecte $BC$ en $N$.
$P$ est le projeté orthogonale de $C$ sur $LB$.
Montrer que $AI$ et $PN$ sont sécantes et que le point d'intersection est sur $(O)$.
Source: Problem weekly, forth week, November 2015
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $(O)$ son cercle circonscrit, $I$ son centre du cercle inscrit.
Soit $(L)$ le cercle exinscrit de $ABC$ qui touche $AB$ en $M$.
$MI$ intersecte $BC$ en $N$.
$P$ est le projeté orthogonale de $C$ sur $LB$.
Montrer que $AI$ et $PN$ sont sécantes et que le point d'intersection est sur $(O)$.
Source: Problem weekly, forth week, November 2015
Réponses
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$R\simeq -a^2 : b(b+c) : c(b+c)$. Et il est sur le circonscrit. Et c'est le milieu de l'arc $AB$. Et c'est pareil si on permute les rôles de $B$ et $C$.
-
Bonjour,
une preuve synthétique est possible...j'attends d'autres idées à ce point de vue...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Avec Morley inscrit:% Bouzar - 12/02/2020 - Intersection sur le cercle circonscrit clc, clear all, close all; % On part du triangle de contact UVW syms u v w; syms uB vB wB; % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- l=4*s3/((w+u)*(w+v)); % Centre L du cercle exinscrit dans l'angle A lB=4*s3B/((wB+uB)*(wB+vB)); [m mB]=ProjectionPointDroite(l,a,b,lB,aB,bB); % Projeté orthogonal de L sur (AB) m=Factor(m) % On trouve m = w*(3*u*v + u*w + v*w - w^2)/((u + w)*(v + w)) [pbc qbc rbc]=DroiteDeuxPoints(b,c,bB,cB); % Droite (BC) [n nB]=IntersectionDeuxDroites(mB,-m,0,pbc,qbc,rbc); % Point d'intetrsection N de (BI) et (BC) n=Factor(n) % On trouve n = 2*u*w^2*(3*u*v + u*w + v*w - w^2)/((u + w)*(u^2*w - v*u^2 + 2*u*w^2 + 2*v*u*w - w^3 + v*w^2)) [p pB]=ProjectionPointDroite(c,l,b,cB,lB,bB); % Projeté orthogonal de C sur (LB) p=Factor(p) % On trouve p = u*(u*v + u*w + 3*v*w - w^2)/((u + v)*(u + w)) [ppn qpn rpn]=DroiteDeuxPoints(p,n,pB,nB); % Droite (PN) [r rB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,ppn,qpn,rpn); % Point d'intersection N de (BI) et (BC) r=Factor(r) % On trouve r = 2*u*v*w/((u + v)*(u + w)) Bi=Birapport(a,b,c,r); BiB=Birapport(aB,bB,cB,rB); Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné.
On peut remarquer que $R$ est le milieu de $[IJ_A]$ où $J_A$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $\widehat{A}$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol et Pierre,
Merci de vos contributions.
Cordialement -
Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Intersection sur le cercle circonscrit.pdf
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour.
Pour une chasse aux angles, le cercle du bas est intéressant.
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Bonjour!
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