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Intersection sur le cercle circonscrit

BouzarBouzar
dans Géométrie
Bonjour,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ABC$ un triangle, $(O)$ son cercle circonscrit, $I$ son centre du cercle inscrit.
Soit $(L)$ le cercle exinscrit de $ABC$ qui touche $AB$ en $M$.
$MI$ intersecte $BC$ en $N$.
$P$ est le projeté orthogonale de $C$ sur $LB$.
Montrer que $AI$ et $PN$ sont sécantes et que le point d'intersection est sur $(O)$.
Source: Problem weekly, forth week, November 201596358

Réponses

  • pldx1pldx1
    $R\simeq -a^2 : b(b+c) : c(b+c)$. Et il est sur le circonscrit. Et c'est le milieu de l'arc $AB$. Et c'est pareil si on permute les rôles de $B$ et $C$.
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    une preuve synthétique est possible...j'attends d'autres idées à ce point de vue...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Avec Morley inscrit: 
    % Bouzar - 12/02/2020 - Intersection sur le cercle circonscrit

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

l=4*s3/((w+u)*(w+v));    % Centre L du cercle exinscrit dans l'angle A
lB=4*s3B/((wB+uB)*(wB+vB));

[m mB]=ProjectionPointDroite(l,a,b,lB,aB,bB); % Projeté orthogonal de L sur (AB)

m=Factor(m) % On trouve m = w*(3*u*v + u*w + v*w - w^2)/((u + w)*(v + w))

[pbc qbc rbc]=DroiteDeuxPoints(b,c,bB,cB); % Droite (BC)

[n nB]=IntersectionDeuxDroites(mB,-m,0,pbc,qbc,rbc); % Point d'intetrsection N de (BI) et (BC)

n=Factor(n) 

% On trouve n = 2*u*w^2*(3*u*v + u*w + v*w - w^2)/((u + w)*(u^2*w - v*u^2 + 2*u*w^2 + 2*v*u*w - w^3 + v*w^2))

[p pB]=ProjectionPointDroite(c,l,b,cB,lB,bB); % Projeté orthogonal de C sur (LB)

p=Factor(p) % On trouve p = u*(u*v + u*w + 3*v*w - w^2)/((u + v)*(u + w))

[ppn qpn rpn]=DroiteDeuxPoints(p,n,pB,nB); % Droite (PN)

[r rB]=IntersectionDeuxDroites(aB,-a,0,ppn,qpn,rpn); % Point d'intersection N de (BI) et (BC)

r=Factor(r) % On trouve r = 2*u*v*w/((u + v)*(u + w))

Bi=Birapport(a,b,c,r);
BiB=Birapport(aB,bB,cB,rB);

Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné.
    On peut remarquer que $R$ est le milieu de $[IJ_A]$ où $J_A$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $\widehat{A}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • BouzarBouzar
    Bonjour Rescassol et Pierre,

    Merci de vos contributions.
    Cordialement
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Intersection sur le cercle circonscrit.pdf

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • solandsoland
    Bonjour.

    Pour une chasse aux angles, le cercle du bas est intéressant.96596
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