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Cercle inscrit et division harmonique

Envoyé par fm_31 
Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Bonjour
Les points M, A, D, B sont en division harmonique. Existe-t-il une démonstration assez simple de cette particularité ?
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.


Re: Cercle inscrit et harmoniques
il y a sept semaines
Si le triangle est isocèle de sommet principal $C$, c'est évident (que $D$ est le milieu de $[AB]$).
gb
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
avatar
Bonjour,

La droite \((CD)\) est la polaire du point \(M\) par rapport aux droites \((CA)\) et \((CB)\) puisque le point d'intersection des droites \((BF)\) et \((AE)\) appartient à :la droite \((CD)\)

Edit : le résultat vaut dès que le triagle \(DEF\) est un triangle pédal (ici du point de Gergonne).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gb.
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Merci pour cette réponse que j'ai un peu de mal à suivre .
Je vois bien que D est sur la polaire de M par rapport au cercle inscrit mais je n'arrive pas à voir pourquoi cette polaire passe par C .
Cordialement
gb
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
avatar
Je ne parle pas de la polaire par rapport au cercle inscrit, mais de la polaire par rapport aux droites \((CA)\) et \((CB)\) (une conique dégénérée en fait).

Sinon : la polaire de \(C\) par rapport au cercle inscrit est \((EF)\);m \(M\) appartient à la polaire de \(C\), donc \(C\) appartient à la polaire de \(M\).

On peut aussi user :
— du théorème de Céva : \(\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}} \cdot \dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}} \cdot \dfrac{\overline{FC}}{\overline{FA}} = -1\) car \(AD=AF\), \(BD=BE\), CE=CF\).

— du théorème de Ménélaüs : \(\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}} \cdot \dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}} \cdot \dfrac{\overline{FC}}{\overline{FA}} = +1\).

Par suite : \(\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}} :\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}} = -1\) et la division est harmonique



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Merci pour tous ces détails et surtout pour la patience prodiguée . Je pense avoir enfin compris pourquoi on avait cette division harmonique qui peut servir dans pas mal d'autres démonstrations .
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
avatar
C'est un problème projectif, on peut remplacer le cercle par une conique.


Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Bonjour.

On considère la conique inscrite dans $ABC$ ayant $P$ comme perspecteur. Alors la conipolaire et la tripolaire de $P$ sont égales. Cela reste vrai lorsque $P$ vient en X(7).

Cordialement, Pierre.


Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Merci pour ces généralisations même si elles me dépassent un peu .
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Bonjour pldx
J’en profite pour vous demanderai ce que vous appelez LE TRIANGLE ANTI CEVIEN de P...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Bonjour,

Avec Morley inscrit:
% fm_31 - 12/02/2020 - Cercle inscrit et division harmonique

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

[pab qab rab]=DroiteDeuxPoints(a,b,aB,bB);

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(1,u*v,-u-v,pab,qab,rab);

m=Factor(m) % On trouve m = w*(w*(u+v)-2*u*v)/(u*v-w^2)

Bi=Birapport(a,b,w,m);

Bi=Factor(Bi) % On trouve Bi=-1, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a sept semaines
Bonjour,

Amateur, le triangle $A'B'C'$ est le triangle anticévien de $P$ par rapport au triangle $ABC$ si le triangle $ABC$ est le triangle cévien de $P$ par rapport au triangle $A'B'C'$.

Cordialement,
Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Cercle inscrit et division harmonique
il y a six semaines
Bonjour,
pour la demande initiale

[jl.ayme.pagesperso-orange.fr]

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Jean-Louis
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