Tangente variable et cercle fixe
Bonjour
Soient un angle $xSy$ et un cercle inscrit $C$.
Une tangente à ce cercle détermine un triangle $ASB$.
Problème: le cercle $ASB$ reste tangent à un cercle fixe $C_1$ lorsque la tangente $(AB)$ varie.
Je voudrais, avec GEOGEBRA, tracer, s'il existe, le cercle $C_1$ tangent en $D$ au côté $(Sx)$, en $E$ au côté $(Sy)$ et en $H$ au cercle $ASB$ de sorte que la droite $(BI)$ joignant le sommet $B$ au centre $I$ du cercle $C$ inscrit au triangle $ASB$ et la droite $(HD)$ joignant le point $H$ au point $D$ se recoupent au point $G$ du cercle $ASB$.
De la même manière, les droites $(AI)$ et $(HE)$ doivent se rejoindre en $L$ sur le cercle $ASB$.
J’utilise en vain la commande « Cercle passant par 3 points » car le point d’intersection des droites $(BI)$ et $(HD)$ n’est jamais sur le cercle $ASB$.
Sur la deuxième figure le point $G$ est bien sur le cercle $ASB$ (et on construit par l'homothétie de centre $H$ la parallèle à $(AS)$ passant pas $G$) mais la droite $(HDG)$ n'est plus tangente au cercle inscrit $C$ !
...
Soient un angle $xSy$ et un cercle inscrit $C$.
Une tangente à ce cercle détermine un triangle $ASB$.
Problème: le cercle $ASB$ reste tangent à un cercle fixe $C_1$ lorsque la tangente $(AB)$ varie.
Je voudrais, avec GEOGEBRA, tracer, s'il existe, le cercle $C_1$ tangent en $D$ au côté $(Sx)$, en $E$ au côté $(Sy)$ et en $H$ au cercle $ASB$ de sorte que la droite $(BI)$ joignant le sommet $B$ au centre $I$ du cercle $C$ inscrit au triangle $ASB$ et la droite $(HD)$ joignant le point $H$ au point $D$ se recoupent au point $G$ du cercle $ASB$.
De la même manière, les droites $(AI)$ et $(HE)$ doivent se rejoindre en $L$ sur le cercle $ASB$.
J’utilise en vain la commande « Cercle passant par 3 points » car le point d’intersection des droites $(BI)$ et $(HD)$ n’est jamais sur le cercle $ASB$.
Sur la deuxième figure le point $G$ est bien sur le cercle $ASB$ (et on construit par l'homothétie de centre $H$ la parallèle à $(AS)$ passant pas $G$) mais la droite $(HDG)$ n'est plus tangente au cercle inscrit $C$ !
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Réponses
C'est bizarre mais j'avais eu l'idée moi aussi de proposer ce problème mais la maladie m'en avait empêché!
Je le poserais plutôt dans le cadre de la défunte géométrie circulaire à laquelle il appartient!
Soit $f$ la cycline parabolique dont le seul point fixe est $I$, le point limite image est $S$, i.e $f(\infty) =S$, le point limite objet est alors le point $T$ symétrique de $S$ par rapport à $I$, i.e: $f(T)=\infty$
J'avais eu dans un passé récent une longue discussion avec Gai Requin au sujet de cette transformation qui est la conjuguée d'une translation dans le défunt groupe circulaire.
Soit $\delta=BC$ une tangente quelconque au cercle $\gamma$ de centre $I$.
Alors $\Gamma=f(\delta)$ est le cercle circonscrit au triangle $SBC$.
Comme l'enveloppe de $\delta$ est le cercle $\gamma$, l'enveloppe de $\Gamma=f(\delta)$ est le cercle $\mu=f(\gamma)$ car $f$ est une transformation de contact.
Sans en être sûr, je crois que le cercle $\mu$ est appelé cercle mixtilinéaire du triangle $SBC$.
Bien sûr si $U$ est le point de contact de $\delta$ avec son enveloppe, le point de contact de $\Gamma=f(\delta)$ avec son enveloppe $\mu$ sera le point $U'=f(U)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
On peut aussi utiliser la réciproque du théorème de l'hexagone $(ASBGHL)$ de Pascal.
Si l'on suppose la position du cercle $C_1$ connue d'avance, Desboves dans "Questions de géométrie élémentaire" propose aussi une démonstration utilisant l'inversion.
...
Il reste quand même à apporter la preuve de ce que j'affirme et là je pense que ce n'est pas demain la veille qu'en dehors des intervenants habituels, quelqu'un nous écrira noir sur blanc une solution.
A partir de la mienne, je pense qu'on peut trouver une solution plus élémentaire à la Desboves en utilisant des inversions qui, on le sait, sont des générateurs du groupe circulaire.
Mais même les inversions ont disparu depuis belle lurette. Je me demande comment on fait maintenant pour décortiquer la Divine Sphère de Riemann!
Mais bof, ce n'est plus mon problème!
Amicalement
[small]p[/small]appus
édit: le d avait traîtreusement disparu.
Un bachelier d'autrefois l'aurait vu de suite!
C'est la définition du cours!
On peut même préciser les asymptotes et l'excentricité!
Amicalement
[small]p[/small]appus
ce problème a été étudié par un certain Mannheim, auteur de nombreux ouvrages de géométrie. Il a beaucoup utilisé l'inversion dans des problèmes de géométrie élémentaire.
Voici une partie de son dessin paru dans la Revue de Mathématiques Spéciales et reproduit (en partie et dans la douleur) sur GeoGebra par mes soins. Admirez le travail !
Blague à part: je vous donne sa solution et son dessin.
La droite $DE$ est perpendiculaire à $SI$ en $I$. La droite $DC_1$ étant perpendiculaire à $Sx$, il suffit de prouver
\begin{equation}
\displaystyle R-C_1D=OC_1,
\end{equation}
$R$ étant le rayon du cercle $\mathscr{O}$ passant par $A, B, S$.
\begin{equation}
\displaystyle R^2-2R \times C_1D + \overline{C_1D}^2=\overline{OC_1}^2, \\
R^2-\overline{OC_1}^2=2R \times C_1D - \overline{C_1D}^2, \\
C_1S \times FB=FK \times C_1D, \\
\text{soit} \: \: \frac{C_1S}{C_1D}=\frac{FK}{FD}.
\end{equation}
Bonne nuit !
ps: je voulais, juste pour l'anecdote, signaler un étrange problème trouvé dans les "Nouvelles Annales de Mathématiques" année 1911; la probabilité que la conique déterminée par $5$ points, pris au hasard dans un plan, soit une ellipse, est infiniment petite.
...
Il est très difficile de voir le rapport de ces figures avec le problème initial.
Même ta première figure de ce fil laisse à désirer car comme le dirait Easim67, on a le sentiment que ton triangle $SAB$ est isocèle, ce qui ne devrait pas être le cas!
Amicalement
[small]p[/small]appus