Inégalité n°3

Bonsoir
On note $ X $, $ Y $ et $ Z $ les pieds des perpendiculaires pris de $ P $ à $ [BC] $, $ [CA] $ et $ [AB] $ respectivement.

Dans les triangles $ PBC PCA, PAB $, en utilisant les relations connues on obtient:
$ 2S_{PBC}=r_1(a+PB+PC)=a\cdot PX\ \implies\ \ \frac{a}{r_1}=\frac{a+PB+PC}{PX},$
$ 2S_{PCA}=r_2(b+PA+PC)=b\cdot PY\ \implies\ \ \frac{b}{r_2}=\frac{b+PA+PC}{PY},$
$ 2S_{PAB}=r_3(c+PA+PB)=c\cdot PZ\ \implies\ \ \frac{c}{r_3}=\frac{c+PA+PB}{PZ}.$

Donc l'inégalité à démontrer devient :
$\frac{a+PB+PC}{PX}+\frac{b+PA+PC}{PY}+\frac{c+PA+PB}{PZ}\ge\ 6(2+\sqrt 3)$
$\iff \frac{a}{PX}+\frac{b}{PY}+\frac{c}{PZ}+\frac{PB+PC}{PX}+\frac{PA+PC}{PY}+\frac{PA+PB}{PZ}\ge\ 6(2+\sqrt 3).$

Maintenant, on a en utilisant l'inégalité de Mitrinovic $ p\ge 3r\sqrt{3}$ :
$\frac{a}{PX}+\frac{b}{PY}+\frac{c}{PZ}=\frac{a^2}{aPX}+\frac{b^2}{bPY}+\frac{c^2}{cPZ}\stackrel{cauchy-schwarz}{\ge}\frac{(a+b+c)^2}{a\cdot PX+b\cdot PY+c\cdot PZ}=\frac{4p^2}{2rp}=\frac{2p}{r}\ge 6\sqrt{3}$

Il reste à démontrer que :
$\frac{PB+PC}{PX}+\frac{PA+PC}{PY}+\frac{PA+PB}{PZ}\ge\ 12.$

En utilisant les relations trigonométriques connues, l'inégalité précédente devient :
$ \frac{\frac{PX}{\sin (\widehat{PBC} )}+\frac{PX}{\sin (\widehat{PCB} )}}{PX} +\frac{\frac{PY}{\sin (\widehat{PCA} )}+\frac{PY}{\sin (\widehat{PAC} )}}{PY}+ \frac{\frac{PZ}{\sin (\widehat{PAB} )}+\frac{PZ}{\sin (\widehat{PBA} )}}{PZ} \ge 12$
$\ \iff\ \frac{1}{\sin (\widehat{PBC} )}+\frac{1}{\sin(\widehat{PCB} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PCA} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PAC} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PAB} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PBA} )}\ge 12.$

Nous appliquons l'inégalité de Jensen à la fonction concave $ \ sin $ sur $ ]0, \pi[ $:
$ \sin\frac{\widehat{PAB} +\widehat{PAC} +\widehat{PBC} +\widehat{PBA} +\widehat{PCA} +\widehat{PCB} }{6}\ge\frac{(\sin( \widehat{PAB})+\sin(\widehat{PBC} ) +\sin( \widehat{PCA} ) )+(\sin( \widehat{PAC} )+\sin(\widehat{PBA} ) +\sin( \widehat{PCB} ))}{6}$

$\iff \sin\frac{\pi }{6}\ge\frac{(\sin( \widehat{PAB})+\sin(\widehat{PBC} ) +\sin( \widehat{PCA} ) )+(\sin( \widehat{PAC} )+\sin(\widehat{PBA} ) +\sin( \widehat{PCB} ))}{6}$

$\iff 6\times\sin\frac{\pi }{6}\ge \sin( \widehat{PAB})+\sin(\widehat{PBC} ) +\sin( \widehat{PCA} ) +\sin( \widehat{PAC} )+\sin(\widehat{PBA} ) +\sin( \widehat{PCB} )$

$ \iff\ \sin( \widehat{PAB})+\sin(\widehat{PBC} ) +\sin( \widehat{PCA} ) +\sin( \widehat{PAC} )+\sin(\widehat{PBA} ) +\sin( \widehat{PCB} )\le 3\ $ (*)

Par suite, on a:
$\frac{1}{\sin (\widehat{PBC} )}+\frac{1}{\sin(\widehat{PCB} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PCA} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PAC} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PAB} )}+\frac{1}{\sin (\widehat{PBA} )}\stackrel{cauchy-schwarz}{\ge} \frac{36}{\sin( \widehat{PAB})+\sin(\widehat{PBC} ) +\sin( \widehat{PCA} ) +\sin( \widehat{PAC} )+\sin(\widehat{PBA} ) +\sin( \widehat{PCB} )}\stackrel{(*)}{\ge}12$

En conclusion, on a $\ \frac{a}{r_1}+\frac{b}{r_2}+\frac{c}{r_3}\ge 6(2+\sqrt 3).$

Amicalement