Bissectrice / médiatrice

bulledesavon
bulledesavon
dans Géométrie
Bonjour

Je considère le triangle AOB isocèle en O. Je considère la bissectrice (d) de l'angle $\widehat{AOB}$. Comment montre-t-on que (d) coupe [AB] en son milieu et à angle droit (autrement dit que (d) est aussi la médiatrice du segment [AB]) ?

Merci.

Réponses

  • soland
    soland
    Quelle est la définition d'un triangle isocèle ?
  • pappus
    pappus
    Ma chère Bulledesavon
    Dans un triangle quelconque $ABC$, la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe le coté opposé $BC$ au point $A'$.
    On montre alors le lemme:
    $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B}{A'C}$$
    Donc si le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, i.e: $AB=AC$, alors $A'B=A'C$ et $A'$ est le milieu de $BC$.
    Le seul problème épouvantable qui reste encore est de démontrer ce fichu lemme.
    D'après mes vagues souvenirs de jeunesse, on utilise pour cela l'Axiome de Thalès.
    Mais connais-tu cet Axiome et est-il encore enseigné?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus97680
  • Dom
    Dom
    On peut aussi voir ça comme le faire que l’on a deux triangles égaux (côté-angle-côté).
    Très en vogue dans les programmes mais très peu en vogue sur le terrain.
  • soland
    soland
    On ne peut rien faire sans une définition de ce qu'est un triangle isocèle.
    Un triangle est-il isocèle s'il a deux côtés de même longueur ?
  • Dom
    Dom
    Ha oui :
    Pour moi c’est « triangle ayant au moins deux côtés de même longueur ».
    Mais, pour qui ce serait autre chose ?

    [small]Je m’interroge parfois en me disant qu’on devrait dire « c’est au moins deux côtés de même longueur ET deux angles de même mesure (au bon endroit...) ».
    Bon laissons mes tribulations de côté.[/small]

    On a les théorèmes (6e) : (avec la définition : isocèle := deux côtés de même longueur)
    Si isocèle alors deux angles de la base de même mesure.
    Si deux angles de même mesure alors isocèle.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Deux côtés de même mesure implique deux angles de même mesure (c’est dans Euclide mais ça doit dater de Thalès) et réciproquement.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Oui, oui c’est le premier théorème dont je parle.
  • Vincent
    Vincent
    Pour aller dans la direction de Pappus, tu peux calculer de deux façons différentes le rapport des aires entre les triangle ABA' et ACA'; d'une part en considérant le sommet A et les bases associées; d'autre part en considérant la base AA'...

    Pappus, je ne sais pas ce qu'est l'axiome de Thalès. Une explication ?
  • pappus
    pappus
    Mon cher Vincent
    Cela ne m'étonne pas!
    Est-il encore enseigné?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Dom
    Dom
    Ce que [small]p[/small]appus, que je salue, appelle « axiome de Thalès » est le plus communément appelé « théorème de Thalès ».
    C’est encore explicitement dans les programmes de collège.
    On recommande même de le voir en 4e aux dernières nouvelles* ainsi que sa réciproque.

    *avant c’était en 4e dans le sens direct seulement, puis c’est passé à la 3e seulement
    il me semble qu’on demande aujourd’hui « surtout pas la configuration en papillon » en 4e.
    J’exagère avec le « surtout pas ».
    Cette configuration ne pose aucun problème aux élèves si le théorème présente proprement le fait qu’il s’agit de deux triangles avec les mêmes proportions.
  • Eric
    Eric
    Pour suivre Dom et parce que les cas d'égalités des triangles sont revenus à la mode au collège.

    Soit $O'$ l'intersection de la bissectrice de $\widehat{AOB}$ avec le côté $[AB]$ dans le triangle $ABO$, isocèle en $O$ (autrement dit $AO=BO$). Le triangle $AOB$ étant isocèle en $O$, on a $\mathrm{mes}\widehat{O'AO}=\mathrm{mes}\widehat{O'BO}$ (corollaire du cas d'égalité côté-angle-côté des triangles). Ainsi, les triangles $AOO'$ et $BOO'$ vérifient la même condition angle-côté-angle (A-C-A). Ils sont donc égaux et il s'ensuit que $AO'=BO'$ et $\mathrm{mes}\widehat{AO'O}=\mathrm{mes}\widehat{BO'O}$, d'où $\mathrm{mes}\widehat{AO'O}=\mathrm{mes}\widehat{BO'O}=90°$.

    Une réciproque.
    Soit $X$ le pied de la hauteur issue de $O$ dans le triangle $ABO$ isocèle en $O$. Les triangles $AOX$ et $BOX$ vérifient la même condition côté-côté-angle (C-C-A) et une des paires d'angles dans ces triangles mesure au moins $90°$, donc ces triangles sont égaux. Il s'ensuit que $\mathrm{mes}\widehat{AOX}=\mathrm{mes}\widehat{BOX}$ et la demi-droite $[OX)$ est la bissectrice de $\widehat{AOB}$.
    C'est ballot mais ce cas d'égalité des triangles ne se trouve pas dans les manuels de collège ...
  • soland
    soland
    @Dom et d'autres, quelques définitions possibles.

    (1) Un triangle isocèle a un axe de symétrie.
    (2.1 à 2.6) Dans un triangle isocèle, deux des droites suivantes sont confondues :
    A-hauteur A-médiane, A-médiatrice, A-bissectrice.
    (3) Dans un triangle isocèle, une bissectrice est parallèle au côté "opposé".
    (4) Dans un triangle isocèle, deux segments de bissectrice (médiane, hauteur) ont la même mesure.
    (5) Dans un triangle isocèle, deux angles ont la même mesure.
    (6) ABC et CBA sont dans le 2e (ou le 3e) cas d'égalité.

    Et j'en passe. Une définition étant choisie, les autres énoncés sont des théorèmes.

    Je ne suis pas sûr de ma liste, il faudrait des preuves...
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