Un lointain cousin de Ménélaüs

soland
soland
dans Géométrie
Une conique coupe les côtés d'un triangle (PQR) en
A, B, C, D, E et F comme indiqué sur le dessin.

Le produit des birapports complexes
$(pq,ab)(qr,cd)(rp,ef) = 1$97994

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Soland, a-t-on bien pour toi $Birapport(p,q,a,b)=\dfrac{(a - p)(b - q)}{(a - q)(b - p)}$ ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    J'ai un doute. En outre, le birapport $(pq,ab)$ semble être un banal birapport sur une droite. Pourquoi le birapport complexe ?

    Cordialement, Pierre.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    J'ai aussi un doute.
    En prenant (Morley) les six points $A,B,C,D,F$ sur le cercle unitaire, puis en calculant $P,Q,R$, ça devrait marcher, et ce n'est pas le cas: 
    % Soland - 18/03/2020 - Un lointain cousin de Ménélaüs 

clc, clear all, close all;

syms a b c d e f;

%-----------------------------------------------------------------------

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,e*f,-e-f);
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,c*d,-c-d);
[r rB]=IntersectionDeuxDroites(1,c*d,-c-d,1,e*f,-e-f);

p=Factor(p)
q=Factor(q)
r=Factor(r)

Bpq=Factor(Birapport(p,q,a,b))
Bqr=Factor(Birapport(q,r,c,d))
Brp=Factor(Birapport(r,p,e,f))

Un=Factor(Bpq*Bqr*Brp)

Nul=Factor(Un-1) % Problème, différent de 0
    De plus, ce cas suffit puisqu'on peut trans former une conique en le cercle unitaire par une transformation adéquate conservant le birapport, si je ne dis pas de bêtises.

    Cordialement,

    Rescassol
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Ne serait-ce pas tout simplement le théorème de Carnot bien ultérieur à celui de Ménélaüs?
    Pas besoin de Morley pour le démontrer!
    Cela peut se faire en restant dans le cadre de la géométrie projective!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pldx1
    pldx1
    En fait il faut remplacer le bi-rapport = rapport des rapports par le produit des rapports.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Ah, c'est mieux: 
    % Soland - 18/03/2020 - Un lointain cousin de Ménélaüs 

clc, clear all, close all;

syms a b c d e f;

%-----------------------------------------------------------------------

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,e*f,-e-f);
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,c*d,-c-d);
[r rB]=IntersectionDeuxDroites(1,c*d,-c-d,1,e*f,-e-f);

p=Factor(p)
q=Factor(q)
r=Factor(r)

Bpq=Factor((a - p)*(b - p)/((a - q)*(b - q)))
Bqr=Factor((c - q)*(d - q)/((c - r)*(d - r)))
Brp=Factor((e - r)*(f - r)/((e - p)*(f - p)))

Un=Factor(Bpq*Bqr*Brp)

Nul=Factor(Un-1) % Ce coup-ci, ça marche, ça fait 0
    Pappus a écrit:
    Pas besoin de Morley pour le démontrer!
    Cela peut se faire en restant dans le cadre de la géométrie projective!
    Pas besoin de géométrie projective pour le démontrer!
    Cela peut se faire en restant dans le cadre de Morley!

    Des goûts et des couleurs ............

    Cordialement,

    Rescassol
  • pldx1
    pldx1
    Le repère de Morley consiste à utiliser les coordonnées barycentriques relatives aux deux ombilics et au centre du cercle choisi pour être le cercle unité. Par ailleurs, une propriété est dite de classe "tintrin sec" lorsqu'elle reste vraie lorsque l'on change de repère. Est-ce ou n'est-ce pas le cas ici ?
  • soland
    soland
    Je me suis trompé quelque part.
    Je cherche l'erreur et reviendrai.
  • soland
    soland
    A chanter sur l'air
    [large]Mais où avais-je donc la tête...[/large]98038
    98040
  • soland
    soland
    On retient que le produit des rapports de section vaut 1
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Soland, pourrais tu donner ta définition exacte de ton birapport $(pq,ab)$ ?

    Cordialement,

    Rescassok
  • pappus
    pappus
    Mon cher Rescassol
    Je crois sans en être sûr que:
    $$(pq,ab)_{soland}=(p,q,a,b)_{rescassol}$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    @Rescassol

    L'apparition d'un birapport dans ce problème est une BOURDE (grosse) de ma part.
    Le premier rôle est tenu par le rapport de section. Le rapport de section $\lambda=[AB,C]$
    des points alignés $A$, $B$, $C$ du plan affine est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{BC}$ .
    Le rapport de section apparaît dans un contexte affine.

    Le birapport projectif $\lambda=[AB,CD]$ des points alignés $A$, $B$, $C$, $D$ du plan projectif
    est le réel $(ps)/(qr)$ où $C=pA+qB$ et $D=rA+sB$ .
    Si $(A)$ est un triplet de coordonnées homogènes de $A$ et qu'on le remplace par $\kappa A$
    le birapport $\lambda=[AB,CD]$ ne change (évidemment) pas.
    Le birapport projectif apparaît dans un contexte ... projectif.

    Le birapport complexe $\lambda=(AB,CD)$ des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy (évtl. complété)
    est le nb. complexe défini via leurs affixes par $(c-a)(d-b)/(c-b)/(d-a)$ .

    Le birapport complexe est invariant si on change de repère (qui est constitué de deux points dont on décrète que les affixes sont 0 et 1 respectivement).
    Le birapport complexe apparaît dans le contexte de la droite projective complexe et de ses homographies.

    Le cyrapport (ou birapport circulaire) des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy est défini via les distances par
    $$
    |AB,CD| := \frac{|AC||BD|}{|BC||AD|} \quad\text{mais aussi par la valeur absolue}\quad |AB,CD| := |(AB,CD)| = \frac{|c-a||d-b|}{|c-b||d-a|}
    $$
    |AB,CD| apparaît dans le contexte des cyclines, i.e. des transformations circulaires.

    Envoyé avec une prière fervente à Ste Coquille et St Faute de Signe...
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour à tous,
    Ce cas particulier est-il intéressant ?
    Précision : A est le milieu de PB
    cordialement
    JLB98070
  • jelobreuil
    jelobreuil
    (suite)
    et celui-ci, où PA = AC ?98072
  • soland
    soland
    @jelobreuil
    A toi d'approfondir cette idée !

    Une cubique a sauf erreur une structure de groupe.
    Ne pourrait-on pas généraliser le "lointain cousin"
    aux intersections d'une conique et d'une cubique ?

    Je n'ai malheureusement pas les compétences
    techniques pour étudier cette question.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Rescassol
    Quand tu circonscris ce brave Morley, tu fais de la géométrie euclidienne et donc de la géométrie projective (sans le savoir) puisque le groupe euclidien est un sous-groupe du défunt groupe projectif.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Le petit hexagone confiné dans sa conique s'ennuyait ferme.
    Lassé de jouer à Pascal et Brianchon il étendit ses côtés et
    les groupa trois par trois : $\{ AB,CD,EF \}\rightarrow (XYZ)$ et $\{ BC,DE,FA \}\rightarrow (UVW)$ .
    Il avait déjà pu constater qu'en remodelant un résultat précédent
    $$
    (YZ,A)(YZ,B)(ZX,C)(ZX,D)(XY,E)(XY,F) = 1
    $$
    ce qui lui rappela son cousin Ménélaüs.
    Il décida de lui rendre visite une seconde fois pour lui montrer le triangle $(UVW)$ .
    Le vieux fut ravi !
    Sur le chemin du retour il eut une de ses rares visions : $(UVW)$ et $(XYZ)$ en
    perspective desarguienne ! Et effectivement quelques calculs concrétisèrent
    la chose !
    Plein de cogitations, de droites à mener, de rapports de section à calculer;
    du grain à moudre pour une semaine au moins.98274
  • soland
    soland
    Passons en 3D.

    Une quadrique coupe les arêtes d'un polyèdre dont
    le schéma simplicial (?) est celui d'un octaèdre (dessin).

    On note $A$, $B$, $C$ les sommets d'une face puis
    $X'$ l'antipode de $X$ . On aura un fléchage cohérent
    de toutes les arêtes en orientant les faces $(ABC)$ ,
    $(ABC')$, $(AB'C')$ ... $(A'B'C')$ .
    Le plan d'une face coupe la quadrique en une conique
    et "l'octaèdre" en un triangle.
    On peut appliquer huit fois le "lointain", ce qui donne...

    Je ne le sais pas encore, je suis demandé à la cuisine.98412
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 10

Lucaschristianmosellekioupspappus +6 Invités