J'ai aussi un doute.
En prenant (Morley) les six points $A,B,C,D,F$ sur le cercle unitaire, puis en calculant $P,Q,R$, ça devrait marcher, et ce n'est pas le cas:
% Soland - 18/03/2020 - Un lointain cousin de Ménélaüs
clc, clear all, close all;
syms a b c d e f;
%-----------------------------------------------------------------------
[p pB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,e*f,-e-f);
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,1,c*d,-c-d);
[r rB]=IntersectionDeuxDroites(1,c*d,-c-d,1,e*f,-e-f);
p=Factor(p)
q=Factor(q)
r=Factor(r)
Bpq=Factor(Birapport(p,q,a,b))
Bqr=Factor(Birapport(q,r,c,d))
Brp=Factor(Birapport(r,p,e,f))
Un=Factor(Bpq*Bqr*Brp)
Nul=Factor(Un-1) % Problème, différent de 0
De plus, ce cas suffit puisqu'on peut trans former une conique en le cercle unitaire par une transformation adéquate conservant le birapport, si je ne dis pas de bêtises.
Bonjour à tous
Ne serait-ce pas tout simplement le théorème de Carnot bien ultérieur à celui de Ménélaüs?
Pas besoin de Morley pour le démontrer!
Cela peut se faire en restant dans le cadre de la géométrie projective!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le repère de Morley consiste à utiliser les coordonnées barycentriques relatives aux deux ombilics et au centre du cercle choisi pour être le cercle unité. Par ailleurs, une propriété est dite de classe "tintrin sec" lorsqu'elle reste vraie lorsque l'on change de repère. Est-ce ou n'est-ce pas le cas ici ?
L'apparition d'un birapport dans ce problème est une BOURDE (grosse) de ma part.
Le premier rôle est tenu par le rapport de section. Le rapport de section $\lambda=[AB,C]$
des points alignés $A$, $B$, $C$ du plan affine est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{BC}$ .
Le rapport de section apparaît dans un contexte affine.
Le birapport projectif $\lambda=[AB,CD]$ des points alignés $A$, $B$, $C$, $D$ du plan projectif
est le réel $(ps)/(qr)$ où $C=pA+qB$ et $D=rA+sB$ .
Si $(A)$ est un triplet de coordonnées homogènes de $A$ et qu'on le remplace par $\kappa A$
le birapport $\lambda=[AB,CD]$ ne change (évidemment) pas.
Le birapport projectif apparaît dans un contexte ... projectif.
Le birapport complexe $\lambda=(AB,CD)$ des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy (évtl. complété)
est le nb. complexe défini via leurs affixes par $(c-a)(d-b)/(c-b)/(d-a)$ .
Le birapport complexe est invariant si on change de repère (qui est constitué de deux points dont on décrète que les affixes sont 0 et 1 respectivement).
Le birapport complexe apparaît dans le contexte de la droite projective complexe et de ses homographies.
Le cyrapport (ou birapport circulaire) des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy est défini via les distances par
$$
|AB,CD| := \frac{|AC||BD|}{|BC||AD|} \quad\text{mais aussi par la valeur absolue}\quad |AB,CD| := |(AB,CD)| = \frac{|c-a||d-b|}{|c-b||d-a|}
$$
|AB,CD| apparaît dans le contexte des cyclines, i.e. des transformations circulaires.
Envoyé avec une prière fervente à Ste Coquille et St Faute de Signe...
Une cubique a sauf erreur une structure de groupe.
Ne pourrait-on pas généraliser le "lointain cousin"
aux intersections d'une conique et d'une cubique ?
Je n'ai malheureusement pas les compétences
techniques pour étudier cette question.
Mon cher Rescassol
Quand tu circonscris ce brave Morley, tu fais de la géométrie euclidienne et donc de la géométrie projective (sans le savoir) puisque le groupe euclidien est un sous-groupe du défunt groupe projectif.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le petit hexagone confiné dans sa conique s'ennuyait ferme.
Lassé de jouer à Pascal et Brianchon il étendit ses côtés et
les groupa trois par trois : $\{ AB,CD,EF \}\rightarrow (XYZ)$ et $\{ BC,DE,FA \}\rightarrow (UVW)$ .
Il avait déjà pu constater qu'en remodelant un résultat précédent
$$
(YZ,A)(YZ,B)(ZX,C)(ZX,D)(XY,E)(XY,F) = 1
$$
ce qui lui rappela son cousin Ménélaüs.
Il décida de lui rendre visite une seconde fois pour lui montrer le triangle $(UVW)$ .
Le vieux fut ravi !
Sur le chemin du retour il eut une de ses rares visions : $(UVW)$ et $(XYZ)$ en
perspective desarguienne ! Et effectivement quelques calculs concrétisèrent
la chose !
Plein de cogitations, de droites à mener, de rapports de section à calculer;
du grain à moudre pour une semaine au moins.
Une quadrique coupe les arêtes d'un polyèdre dont
le schéma simplicial (?) est celui d'un octaèdre (dessin).
On note $A$, $B$, $C$ les sommets d'une face puis
$X'$ l'antipode de $X$ . On aura un fléchage cohérent
de toutes les arêtes en orientant les faces $(ABC)$ ,
$(ABC')$, $(AB'C')$ ... $(A'B'C')$ .
Le plan d'une face coupe la quadrique en une conique
et "l'octaèdre" en un triangle.
On peut appliquer huit fois le "lointain", ce qui donne...
Je ne le sais pas encore, je suis demandé à la cuisine.
Réponses
Soland, a-t-on bien pour toi $Birapport(p,q,a,b)=\dfrac{(a - p)(b - q)}{(a - q)(b - p)}$ ?
Cordialement,
Rescassol
J'ai un doute. En outre, le birapport $(pq,ab)$ semble être un banal birapport sur une droite. Pourquoi le birapport complexe ?
Cordialement, Pierre.
J'ai aussi un doute.
En prenant (Morley) les six points $A,B,C,D,F$ sur le cercle unitaire, puis en calculant $P,Q,R$, ça devrait marcher, et ce n'est pas le cas: De plus, ce cas suffit puisqu'on peut trans former une conique en le cercle unitaire par une transformation adéquate conservant le birapport, si je ne dis pas de bêtises.
Cordialement,
Rescassol
Ne serait-ce pas tout simplement le théorème de Carnot bien ultérieur à celui de Ménélaüs?
Pas besoin de Morley pour le démontrer!
Cela peut se faire en restant dans le cadre de la géométrie projective!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ah, c'est mieux: Pas besoin de géométrie projective pour le démontrer!
Cela peut se faire en restant dans le cadre de Morley!
Des goûts et des couleurs ............
Cordialement,
Rescassol
Je cherche l'erreur et reviendrai.
[large]Mais où avais-je donc la tête...[/large]
Soland, pourrais tu donner ta définition exacte de ton birapport $(pq,ab)$ ?
Cordialement,
Rescassok
Je crois sans en être sûr que:
$$(pq,ab)_{soland}=(p,q,a,b)_{rescassol}$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
L'apparition d'un birapport dans ce problème est une BOURDE (grosse) de ma part.
Le premier rôle est tenu par le rapport de section. Le rapport de section $\lambda=[AB,C]$
des points alignés $A$, $B$, $C$ du plan affine est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{BC}$ .
Le rapport de section apparaît dans un contexte affine.
Le birapport projectif $\lambda=[AB,CD]$ des points alignés $A$, $B$, $C$, $D$ du plan projectif
est le réel $(ps)/(qr)$ où $C=pA+qB$ et $D=rA+sB$ .
Si $(A)$ est un triplet de coordonnées homogènes de $A$ et qu'on le remplace par $\kappa A$
le birapport $\lambda=[AB,CD]$ ne change (évidemment) pas.
Le birapport projectif apparaît dans un contexte ... projectif.
Le birapport complexe $\lambda=(AB,CD)$ des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy (évtl. complété)
est le nb. complexe défini via leurs affixes par $(c-a)(d-b)/(c-b)/(d-a)$ .
Le birapport complexe est invariant si on change de repère (qui est constitué de deux points dont on décrète que les affixes sont 0 et 1 respectivement).
Le birapport complexe apparaît dans le contexte de la droite projective complexe et de ses homographies.
Le cyrapport (ou birapport circulaire) des points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan d'Argand-Cauchy est défini via les distances par
$$
|AB,CD| := \frac{|AC||BD|}{|BC||AD|} \quad\text{mais aussi par la valeur absolue}\quad |AB,CD| := |(AB,CD)| = \frac{|c-a||d-b|}{|c-b||d-a|}
$$
|AB,CD| apparaît dans le contexte des cyclines, i.e. des transformations circulaires.
Envoyé avec une prière fervente à Ste Coquille et St Faute de Signe...
Ce cas particulier est-il intéressant ?
Précision : A est le milieu de PB
cordialement
JLB
et celui-ci, où PA = AC ?
A toi d'approfondir cette idée !
Une cubique a sauf erreur une structure de groupe.
Ne pourrait-on pas généraliser le "lointain cousin"
aux intersections d'une conique et d'une cubique ?
Je n'ai malheureusement pas les compétences
techniques pour étudier cette question.
Quand tu circonscris ce brave Morley, tu fais de la géométrie euclidienne et donc de la géométrie projective (sans le savoir) puisque le groupe euclidien est un sous-groupe du défunt groupe projectif.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Lassé de jouer à Pascal et Brianchon il étendit ses côtés et
les groupa trois par trois : $\{ AB,CD,EF \}\rightarrow (XYZ)$ et $\{ BC,DE,FA \}\rightarrow (UVW)$ .
Il avait déjà pu constater qu'en remodelant un résultat précédent
$$
(YZ,A)(YZ,B)(ZX,C)(ZX,D)(XY,E)(XY,F) = 1
$$
ce qui lui rappela son cousin Ménélaüs.
Il décida de lui rendre visite une seconde fois pour lui montrer le triangle $(UVW)$ .
Le vieux fut ravi !
Sur le chemin du retour il eut une de ses rares visions : $(UVW)$ et $(XYZ)$ en
perspective desarguienne ! Et effectivement quelques calculs concrétisèrent
la chose !
Plein de cogitations, de droites à mener, de rapports de section à calculer;
du grain à moudre pour une semaine au moins.
Une quadrique coupe les arêtes d'un polyèdre dont
le schéma simplicial (?) est celui d'un octaèdre (dessin).
On note $A$, $B$, $C$ les sommets d'une face puis
$X'$ l'antipode de $X$ . On aura un fléchage cohérent
de toutes les arêtes en orientant les faces $(ABC)$ ,
$(ABC')$, $(AB'C')$ ... $(A'B'C')$ .
Le plan d'une face coupe la quadrique en une conique
et "l'octaèdre" en un triangle.
On peut appliquer huit fois le "lointain", ce qui donne...
Je ne le sais pas encore, je suis demandé à la cuisine.