Parallèle à une hauteur

Bonjour Jean-Louis,
Je pense qu'il y a une erreur dans la définition du point $T.$
Cordialement

Bonjour,
Utilisons les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
$O\simeq\left[\begin{array}{c} a^2S_A\\ b^2S_B\\ c^2S_C\end{array}\right].$
$P,Q,R\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right].$
$T\simeq\left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ -(a^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2)\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right].$
Les droites $(TQ)$ et $(CR)$ ont le même point à l'infini, à savoir $P_{\infty}\simeq\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ -2 c^2\end{array}\right]$, elles sont donc parallèles.
Cordialement

Bonjour Jean-Louis, Bouzar et tous,
Merci pour la correction ...
Voici une figure, pour mettre les idées en place ...
Bien cordialement
JLB
PS : le fait que CT = RQ est-il un intermédiaire ou peut-il être une question annexe ?

Les deux angles $\widehat{RCT}$ et $\widehat{CRP}$ sont alternes-internes.
Par hypothèse, $(CT)\parallel (RP)$.
On en tire donc que $\widehat{RCT}=\widehat{CRP}$
On a même par isogonalité de $(BT)$ et $(BQ)$, que $\widehat{RCT}=\widehat{CRP}=\widehat{HBP}=\widehat{RBT}$.
On en déduit que les points $B, R, Q, T, C$ sont sur un même cercle.
Par suite, on en tire que $\widehat{QTC}=\widehat{QBC}=\widehat{RBT}=\widehat{RCT}$.
Mais alors la relation $\widehat{QTC}=\widehat{TCR}$, conduit à la conclusion que les droites $(TQ)$ et $(CR)$ sont parallèles.
Cordialement

Bonjour ,
avec les angles au centre et inscrit puis complémentaires .
Cordialement

Les angles bleus sont égaux (angle inscrit et demi angle au centre)
Les angles rouges complémentaires des angles bleus sont donc égaux .
Donc les arcs rouges sont égaux
Mais peut-être ai-je raté quelque chose car ça me parait trop simple .

Sans les angles ?
Soit E l'intersection de AB et de la perpendiculaire à BQ passant par T .
Si on arrive à démontrer que EQ est perpendiculaire à BT , alors Q est l'orthocentre du triangle EBT et TQ la 3° hauteur est perpendiculaire à EB et donc parallèle à CR .
Piste ou impasse ?