Un milieu remarquable
dans Géométrie
Bonjour,
le problème
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1960462
était une entrée personnelle pour
1. ABC un triangle acutangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. B' l'antipôle de B relativement à (O)
4. PQR le triangle orthique de ABC
5. M, W les points d'intersection resp. de (BQ) et (CB'), (BB') et (CR).
Question : (QR) passe par le milieu de [WM].
J'en cherche un référence...
Sincèrement
Jean-Louis
le problème
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1960462
était une entrée personnelle pour
1. ABC un triangle acutangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. B' l'antipôle de B relativement à (O)
4. PQR le triangle orthique de ABC
5. M, W les points d'intersection resp. de (BQ) et (CB'), (BB') et (CR).
Question : (QR) passe par le milieu de [WM].
J'en cherche un référence...
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
-
Bonjour,
ce problème référencié sous 4. 1. 8. est tiré du livre Geometry in Figures écrit par le russe
Arseniy Akopyan, docteur en 2010 au Yaroslavl State University (Russie).
Arseniy Akopyan est l'éditeur du Journal of Classical Geometry.
Le livre n'indique aucune solution...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Avec Morley circonscrit:% Jean-Louis Ayme - 2[b]2[/b]/03/2020 - Un milieu remarquable clc, clear all, close all; syms a b c; syms aB bB cB; % Conjugués aB=1/a; % Morley circonscrit bB=1/b; cB=1/c; s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- p=(s1*a-b*c)/(2*a); % Triangle orthique PQR de ABC q=(s1*b-c*a)/(2*b); r=(s1*c-a*b)/(2*c); pB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB); qB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB); rB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB); bp=-b; % Antipôle B' de B parapport à ABC bpB=-bB; [pbq qbq rbq]=DroiteDeuxPoints(b,q,bB,qB); % Droite (BQ) [pcbp qcbp rcbp]=DroiteDeuxPoints(c,bp,cB,bpB); % Droite (CB') % Point d'intersection M des droites (BQ) et (CB') [m mB]=IntersectionDeuxDroites(pbq,qbq,rbq,pcbp,qcbp,rcbp); m=Factor(m) % On trouve m = -(b^2 + a*b - 2*a*c)/(a - b) [pbbp qbbp rbbp]=DroiteDeuxPoints(b,bp,bB,bpB); % Droite (BB') [pcr qcr rcr]=DroiteDeuxPoints(c,r,cB,rB); % Droite (CR) % Point d'intersection W des droites (BB') et (CR) [w wB]=IntersectionDeuxDroites(pbbp,qbbp,rbbp,pcr,qcr,rcr); w=Factor(w) % On trouve w = (b*(- c^2 + a*b))/(c*(a - b)) n=Factor((m+w)/2) % Milieu N de [MW] nB=(mB+wB)/2; % On trouve n = -(b^2*c - a*b^2 + b*c^2 + a*b*c - 2*a*c^2)/(2*c*(a - b)) % N est il sur la droite (QR) ? Mat=[q qB 1; r rB 1; n nB 1]; Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Jean-Louis,
Utilisons les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
$O\simeq\left[\begin{array}{c} a^2S_A\\ b^2S_B\\ c^2S_C\end{array}\right].$
$P,Q,R\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right].$
$B'\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4\\ 2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$
$M\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 + b^2 - c^2)^2\\ 2 a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right].$
$W\simeq\left[\begin{array}{c} -a^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4)\\ a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2\\ -c^2 (-a^4 + (b^2 - c^2)^2)\end{array}\right].$
Soit $U$ le milieu de $[MN]$.
$U\simeq\left[\begin{array}{c} a^2\\ -a^2 + c^2\\ c^2\end{array}\right].$
La droite $(QR)$ :
$(-a^2 + b^2 + c^2)x+(-a^2 + b^2 - c^2)y+(-a^2 - b^2 + c^2)z=0$.
On a : $a^2(-a^2 + b^2 + c^2) + (-a^2 + c^2)(-a^2 + b^2 - c^2) + c^2(-a^2 - b^2 + c^2)=0.$
En conclusion, (QR) passe par le milieu de [WM]. -
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Bonjour!
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