Un milieu remarquable

Réponses

• Jean-Louis Ayme

  March 2020

  Bonjour,
  
  ce problème référencié sous 4. 1. 8. est tiré du livre Geometry in Figures écrit par le russe
  Arseniy Akopyan, docteur en 2010 au Yaroslavl State University (Russie).
  Arseniy Akopyan est l'éditeur du Journal of Classical Geometry.
  
  Le livre n'indique aucune solution...
  
  Sincèrement
  Jean-Louis
• Rescassol

  March 2020

  Bonjour,
  
  Avec Morley circonscrit:

  % Jean-Louis Ayme - 2[b]2[/b]/03/2020 - Un milieu remarquable
  
  clc, clear all, close all;
  
  syms a b c;
  syms aB bB cB; % Conjugués
  
  aB=1/a; % Morley circonscrit
  bB=1/b;
  cB=1/c;
  
  s1=a+b+c;
  s2=a*b+b*c+c*a;
  s3=a*b*c;
  
  s1B=s2/s3;
  s2B=s1/s3;
  s3B=1/s3;
  
  %-----------------------------------------------------------------------
  
  p=(s1*a-b*c)/(2*a); % Triangle orthique PQR de ABC
  q=(s1*b-c*a)/(2*b);
  r=(s1*c-a*b)/(2*c);
  
  pB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB);
  qB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB);
  rB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB);
  
  bp=-b;    % Antipôle B' de B parapport à ABC
  bpB=-bB;
  
  [pbq qbq rbq]=DroiteDeuxPoints(b,q,bB,qB);        % Droite (BQ)
  [pcbp qcbp rcbp]=DroiteDeuxPoints(c,bp,cB,bpB);   % Droite (CB')
  
  % Point d'intersection M des droites (BQ) et (CB')
  
  [m mB]=IntersectionDeuxDroites(pbq,qbq,rbq,pcbp,qcbp,rcbp); 
  
  m=Factor(m) % On trouve m = -(b^2 + a*b - 2*a*c)/(a - b)
  
  [pbbp qbbp rbbp]=DroiteDeuxPoints(b,bp,bB,bpB);   % Droite (BB')
  [pcr qcr rcr]=DroiteDeuxPoints(c,r,cB,rB);        % Droite (CR)
  
  % Point d'intersection W des droites (BB') et (CR)
  
  [w wB]=IntersectionDeuxDroites(pbbp,qbbp,rbbp,pcr,qcr,rcr);
  
  w=Factor(w) % On trouve w = (b*(- c^2 + a*b))/(c*(a - b))
  
  n=Factor((m+w)/2) % Milieu N de [MW]
  nB=(mB+wB)/2;
  
  % On trouve n = -(b^2*c - a*b^2 + b*c^2 + a*b*c - 2*a*c^2)/(2*c*(a - b))
  
  % N est il sur la droite (QR) ?
  
  Mat=[q qB 1; r rB 1; n nB 1];
  
  Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné
  

  
  Cordialement,
  
  Rescassol

  JLA112.png 36.6K
• Bouzar

  March 2020

  Bonjour Jean-Louis,
  Utilisons les coordonnées barycentriques.
  $A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
  $O\simeq\left[\begin{array}{c} a^2S_A\\ b^2S_B\\ c^2S_C\end{array}\right].$
  $P,Q,R\simeq\left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right].$
  $B'\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4\\ 2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$
  $M\simeq\left[\begin{array}{c} 2 a^2 (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 + b^2 - c^2)^2\\ 2 a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right].$
  $W\simeq\left[\begin{array}{c} -a^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4)\\ a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2\\ -c^2 (-a^4 + (b^2 - c^2)^2)\end{array}\right].$
  Soit $U$ le milieu de $[MN]$.
  $U\simeq\left[\begin{array}{c} a^2\\ -a^2 + c^2\\ c^2\end{array}\right].$
  La droite $(QR)$ :
  $(-a^2 + b^2 + c^2)x+(-a^2 + b^2 - c^2)y+(-a^2 - b^2 + c^2)z=0$.
  On a : $a^2(-a^2 + b^2 + c^2) + (-a^2 + c^2)(-a^2 + b^2 - c^2) + c^2(-a^2 - b^2 + c^2)=0.$
  En conclusion, (QR) passe par le milieu de [WM].
• Jean-Louis Ayme

  March 2020

  Bonjour,
  merci à tous
  
  http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Sequence 3.pdf
  
  Sincèrement
  Jean-Louis